[論文レビュー] Nonradial solutions for the Hénon equation in $R^N$

Francesca Gladiali, Massimo Grossi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 25被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、分岐理論を用いて、$\mathbb{R}^N$ 上のヘノン方程式に対して非径対称解の存在を確立し、$\alpha$ が偶数整数であるとき、径対称解のまわりの線形化作用素の非自明な核の次元が1より大きいことを示し、径対称分岐から非径対称解の分岐を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem $$ {ll} -Δu=(N+\a)(N-2)|x|^{\a}u^\frac{N+2+2\a}{N-2} & in R^N u>0& in R^N u\in D^{1,2}(R^N). $$ where $N\ge3$. From the characterization of the solutions of the linearized operator, we deduce the existence of nonradial solutions which bifurcate from the radial one when $α$ is an even integer.

研究の動機と目的

• 重み付き臨界成長 $|x|^\alpha$ を伴う $\mathbb{R}^N$ 上のヘノン方程式に対する非径対称解の存在を調査すること。
• 径対称解 $U_\alpha$ のまわりの線形化作用素の構造とその核の次元を理解すること。
• 非径対称解が径対称解分岐から生じる条件を特定すること。
• 重み付き空間 $L^{\frac{2N+2\alpha}{N-2}}(\mathbb{R}^N)$ における $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ のコンパクト埋め込みの欠如を克服すること。これは標準的変分法の適用を不可能にする。
• 線形化作用素の固有関数を特徴付け、$\alpha$ が偶数整数のとき、それらが調和多項式とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• ヘノン方程式に対して分岐理論を適用し、径対称解 $U_\alpha$ を基準解として用いる。
• $U_\alpha$ における線形化作用素を分析し、その核の次元を特定する。核の次元は分岐の可能性を支配する。
• 変数変換 $r = s^{2/(\alpha+2)}$ を用いることで、径対称問題が新しい径対称変数 $s$ における重み付きソボレフ不等式に変換され、古典的ソボレフ埋め込みの適用が可能になる。
• 線形化作用素の核を特徴付ける：$\alpha$ が偶数整数でないとき、核は1次元である。$\alpha = 2(k-1)$ のとき、核は無限次元（同次調和多項式 $Y_k$ の次数 $k$ で張られる）である。
• 球体における近似問題の固有値スペクトルを分析し、リャプノフ＝シュレーディンガー還元法を用いて、全問題 $\mathbb{R}^N$ における収束を示すことにより、分岐結果を導出する。
• 明示的解 $U_\alpha(x) = (1 + |x|^{2+\alpha})^{-(N-2)/(2+\alpha)}$ を、分岐解析の基準解として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha$ がどのような条件下で、ヘノン方程式の径対称解のまわりの線形化作用素の核の次元が1より大きくなるか。
• RQ2 $\alpha$ が偶数整数であるとき、径対称解から非径対称解を分岐によって構成できるか。
• RQ3 重み $|x|^\alpha$ の存在が、標準的臨界ソボレフケース（$\alpha = 0$）と比較して、解の対称性と存在にどのように影響を与えるか。
• RQ4 線形化作用素の核の正確な構造は何か。また、それらは調和多項式とどのように関係するか。
• RQ5 重み付き空間 $L^{\frac{2N+2\alpha}{N-2}}(\mathbb{R}^N)$ におけるコンパクト埋め込みの欠如が、標準的変分法の適用を妨げ、その場合、分岐理論が代替としてどのように利用可能か。

主な発見

• $\alpha$ が偶数整数でないとき、径対称解 $U_\alpha$ における線形化作用素の核は1次元であり、$Z(x) = \frac{1 - |x|^{2+\alpha}}{(1 + |x|^{2+\alpha})^{(N+\alpha)/(2+\alpha)}}$ によって生成される。
• $\alpha = 2(k-1)$ である $k \in \mathbb{N}$ に対して、線形化作用素の核の次元は $1 + \frac{(N+2k-2)(N+k-3)!}{(N-2)!k!}$ に等しく、追加の生成子 $Z_k(x) = \frac{Y_k(x)}{(1 + |x|^{2+\alpha})^{(N+\alpha)/(2+\alpha)}}$ を持つ。ここで $Y_k$ は次数 $k$ の同次調和多項式である。
• $\alpha$ が偶数整数であるとき、ヘノン方程式の非径対称解が $\mathbb{R}^N$ 上に存在する。これは、核の次元が高いために分岐が可能になるからである。
• 径対称解 $U_\alpha(x) = (1 + |x|^{2+\alpha})^{-(N-2)/(2+\alpha)}$ は、$U_\alpha(0) = 1$ を満たす $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 内の唯一の径対称解であり、重み付きソボレフ不等式の極値関数である。
• 分岐結果は、球体における近似問題を分析し、スペクトルと解が $\mathbb{R}^N$ 全体の問題に収束することを示すことにより確立された。リャプノフ＝シュレーディンガー還元法を用いた。
• 本論文では、変数変換を用いて問題を標準的常微分方程式に還元し、既知の一意性結果を応用することで、単位球内における径対称解の存在と一意性の新しい証明が与えられている。