[論文レビュー] Nonrelativistic and Relativistic Continuum Mechanics

Robert Beig|ArXiv.org|Mar 16, 2004

Geophysics and Sensor Technology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、それぞれのガリレオ幾何とローレンツ幾何を用いて、非相対論的および相対論的連続体力学の統一的時空形式を提示する。弾性方程式の双曲型性および対称双曲型性を確立し、自然状態の周囲で初期値問題に対する局所的解の存在定理を証明する。両フレームワークにおいて波面錐構造および応力エネルギーテンソルの明示的条件を提示する。

ABSTRACT

There is described a spacetime formulation of both nonrelativistic and relativistic elasticity. Specific attention is devoted to the causal structure of the theories and the availability of local existence theorems for the initial-value problem. Much of the presented material is based on joint work of B.G.Schmidt and the author (in Class.Quantum Grav. extbf{20} (2003), 889-904).

研究の動機と目的

• 非相対論的（ガリレオ的）および相対論的（アインシュタイン的）設定における連続体力学の整合的時空形式の構築。
• 双曲型性および対称双曲型性条件を用いた弾性場方程式の因果的構造の分析。
• 特に自然状態の近傍における初期値問題に対する弾性の局所的解の存在定理の確立。
• 相対論的および非相対論的形式の比較を行い、慣性系における線形化の下で両者の等価性を示す。
• 応力質量テンソル、貯蔵エネルギー関数、および物質多様体が場の方程式を定式化する上で果たす役割の明確化。

提案手法

• 非相対論的弾性を、退化計量 hµν、時間形式 τµ、平坦接続 ∇µ を持つガリレオ時空上に定式化する。
• 応力質量テンソル T µν = ρvµvν + tµν を導入し、tµν は空間的であり、貯蔵エネルギー関数 e(HAB) から導出される。
• ラグランジアンのオイラー＝ラグランジュ方程式から2階場の方程式を導出し、M µνAB ∂µ∂νf B = GA の形を得る。
• 補助変数を用いて2階系を対称双曲型1階系に再定式化し、適切な定式化を保証する。
• 物質が静止状態にあり、HAB が定数である自然状態に適用し、局所的解の存在定理を証明する。
• ガリレオ的構造をローレンツ計量 gµν に置き換え、物質世界線に直交する単位時間的法線 uµ を定義することで、相対論的時空にフレームワークを適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空形式において、弾性方程式系が双曲型および対称双曲型となる条件は何か？
• RQ2 連続体力学における初期値問題の解の局所的存在に必要な十分条件は何か？
• RQ3 慣性系における線形化の下で、相対論的および非相対論的弾性形式はどのように関係するか？
• RQ4 非相対論的および相対論的弾性における特徴的錐（光線錐および法線錐）の幾何的構造は何か？
• RQ5 ラグランジアンに全微分項を加えると、場の方程式の双曲型性および対称双曲型性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 2階弾性系が双曲型であるための必要十分条件は、行列 M µνAB が特定の正定性条件を満たすことである。対称双曲型性は、パrameter ǫ が 0 < ǫ < min(2c²₂, 3c²₁/2) の範囲にあるとき、1階形式の調整によって達成可能である。
• 自然状態（f A が時間に依存せず、HAB が定数）では、場の方程式は波動方程式に線形化され、剪断波速 c₁ および圧力波速 c₂ によって支配される明確な因果的伝播が保証される。
• 等方的状況では、vµ∂µ = ∂t を満たす座標系で書くと、線形化された相対論的および非相対論的方程式は一致するが、幾何的対象は異なる。
• 相対論的応力エネルギーテンソル T µν は、ラグランジアン L = −ρ = −n(m₀ + e) から導出され、τAB = 2∂e/∂HAB であり、T µν = ρuµuν + 2nτAB(∂µf A)(∂νf B) の形を取る。
• 両理論における場の方程式は、物質計量、密度、および貯蔵エネルギーの微分から構成される M µνAB を用いて、M µνAB ∂µ∂νf B = GA の形に同一視可能である。
• 相対論的状況における法線錐および光線錐は、それぞれ計量 ¯gµν = gµν + (1 − 1/¯c²)◦uµ◦uν および ¯gµν = gµν + (1 − ¯c²)◦uµ◦uν によって定義され、¯c = c₁ または c₂ である。