[論文レビュー] "Nonrelativistic" kinematics: Particles or waves?

J. M. Houlrik, Germain Rousseaux|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特殊相対性理論の運動論が低速度のガリレオ力学を超えて、波が粒子的挙動を示す二重のカールロ・スーパークエイント限界を含むことを明らかにする。$c$ を用いた長さのSI定義における時空交換対称性を活用することで、ランドーのパラドックスが示す波動と粒子の二重性が、二重のガリレオ的およびカールロ的運動論を通じて自然に解消され、マクスウェル方程式が両対称性に関して共変であることが示される。

ABSTRACT

The kinematics of particles refer to events and tangent vectors, while that of waves refer to dual gradient planes. Special relativity [1-3] applies to both objects alike. Here we show that spacetime exchange symmetry [7] implicit in the SIdefinition of length based on the universal constant c has profound consequences at low velocities. Galilean physics, exact in the limit c o \infty, is mirrored by a dual so-called Carrollian superluminal kinematics [4-6] exact in the limit c o 0. Several new results follow. The Galilean limit explains mass conservation in Newtonian mechanics, while the dual limit is a kinematical prerequisite for wavelike tachyonic motion [8, 9]. As an example, the Landé paradox [19, 20] of waveparticle duality has a natural resolution within special relativity in terms of superluminal, particlelike waves. It is emphasized that internal particle energy mc^2 can not be ignored, while kinetic energy leads to an extended Galilei group. We also demonstrate that Maxwell's equations have magnetic and electric limits covariant under Galilean and Carrollian symmetry.

研究の動機と目的

• 特殊相対性理論の低速度限界を超えた運動論的範囲を調査し、ガリレオ的およびカールロ的物理学の間の二重対称性を明らかにすること。
• カールロ的限界におけるスーパークエイント、粒子的挙動を示す波が自然に出現することを示すことにより、波動と粒子の二重性におけるランドーのパラドックスを解消すること。
• マクスウェル方程式がガリレオ的およびカールロ的対称性に関して共変であることを示し、電気的および磁気的限界がそれぞれこれらの二重限界に対応することを示すこと。
• 非相対論的領域においても内部粒子エネルギー $mc^2$ が運動論的記述に保持されなければならないことを確立すること。
• 長さのSI定義における時空交換対称性の役割を明確にし、低速および高速領域におけるその深い影響を示すこと。

提案手法

• 時空交換対称性 $r_{\flat} \to ct, t \to r_{\flat}/c$ を用いて、ガリレオ的ブースト $\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \mathbf{v}_0 t, t' = t$ からカールロ変換 $\mathbf{r}' = \mathbf{r}, t' = t - \mathbf{v}_0 \cdot \mathbf{r}/c^2$ への二重変換を導出する。
• ローレンツ変換の一次行列展開 $I - \beta L$ を用い、$L = G + C$ とし、$G$ および $C = G^T$ をそれぞれガリレオ的およびカールロ的ブーストの生成子とする。
• 粒子 ($\gamma(\mathbf{v}, c)$) および波 ($({\bf k}, \omega/c)$) の4元ベクトルを分析し、$G$ および $C$ の部分群における変換を示す。
• $v \ll c$（ガリレオ的）および $v \gg c$（カールロ的）における速度変換を導出し、$\beta \to \infty$ の二重限界において $\gamma \to 0$ となることを示す。
• マクスウェル方程式に双対性を適用し、$\mathbf{D} \leftrightarrow \mathbf{B}, \mathbf{H} \leftrightarrow -\mathbf{E}$ を変換することで、電気的および磁気的近似におけるガリレオ的およびカールロ的限界を明らかにする。
• ローレンツゲージおよび4元ポテンシャル $q(\mathbf{A}, \phi/c)$ を用いて、ガリレオ的ドップラー効果 $\omega = \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}$ を導出し、波動と粒子の運動論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さのSI定義における時空交換対称性が、特殊相対性理論の運動論枠組みを低速度限界を超えてどのように拡張するか？
• RQ2 波動と粒子の二重性におけるランドーのパラドックスが、特殊相対性理論の統一的運動論枠組み内で解消可能か？
• RQ3 $c \to \infty$（ガリレオ的）および $c \to 0$（カールロ的）という二重限界の運動論的結果は何か？ そしてそれらは粒子運動と波動運動とどのように関係するか？
• RQ4 マクスウェル方程式がガリレオ的およびカールロ的対称性に関して共変であるのはなぜか？ また、電気的および磁気的限界の物理的解釈は何か？
• RQ5 非相対論的運動論における内部エネルギー $mc^2$ の役割は何か？ そしてそれは拡張されたガリレオ群にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ガリレオ的限界（$c \to \infty$）は、$c \to \infty$ の極限における運動論的結果として、ニュートン力学における質量保存を説明する。
• 二重のカールロ的限界（$c \to 0$）は、超光速で粒子的挙動を示す波動運動の運動論的前提条件であり、$\beta \to \infty$ のとき $\gamma \sim 1/\beta$ が $0$ に近づく。
• ランドーのパラドックスは、波動と粒子の二重性が二重運動論から自然に生じることを示すことにより解消される。具体的には、波はカールロ的限界において粒子のように振る舞う。
• マクスウェル方程式はガリレオ的およびカールロ的対称性に関して共変であり、電気的限界（$cD \to 0$）はガリレオ不変性に対応し、磁気的限界（$cB \to 0$）はカールロ不変性に対応する。
• 一次のローレンツ変換は時空交換に関して自己双対であり、ガリレオ的およびカールロ的変換は $v_0 V_0 = c^2$ を通じて正確に互いに双対である。
• 方程式内の源は、ガリレオ的（時空的）では $\rho_s' = \rho_s$、カールロ的（空間的）では $\rho_s' = \rho_s - \mathbf{v}_0 \cdot \mathbf{j}_s / c^2$ と変換され、二重の連続の方程式が示される。