[論文レビュー] Nonrelativistic limit of standing waves for pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations

Woocheol Choi, Jinmyoung Seok|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式に対して、地面状態解の存在および径対称性を確立し、光速 $c \to \infty$ の非相対論的極限を厳密に証明する。$H^1(\mathbb{R}^n)$ 内で強い収束が成り立ち、古典的非線形シュレーディンガー方程式の地面状態解に収束することが示された。これらの結果は、低速度領域における相対論的モデルが非相対論的モデルに還元されることを形式的な期待通りに裏付けている。

ABSTRACT

In this paper we study standing waves for pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations. In the first part we find ground state solutions. We also prove that they have one sign and are radially symmetric. The second part is devoted to take nonrelativistic limit of the ground state solutions in $H^1 (\mathbb{R}^n)$ space.

研究の動機と目的

• 擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式のべき乗型非線形項を伴う地面状態解の存在を確立すること。
• これらの地面状態解が正であり、平行移動を除いて径対称的で、符号が一つであることを証明すること。
• 光速 $c \to \infty$ のときの地面状態解の非相対論的極限を厳密に正当化すること。
• 相対論的地面状態解が $H^1(\mathbb{R}^n)$ のノルムにおいて非相対論的地面状態解に強い収束することを示すこと。

提案手法

• エネルギーをネハリ多様体上で最小化することで、$H^{1/2}(\mathbb{R}^n)$ 内に地面状態解を構成する。
• 相対論的運動エネルギー作用素 $\sqrt{-c^2\Delta + m^2c^4} - mc^2$ のテイラー展開を用いて、非相対論的近似 $-\frac{1}{2m}\Delta$ を導出する。
• 弱収束の議論とコンパクトなソボレフ埋め込みを用いて、$c \to \infty$ のときの解の極限を分析する。
• $c \geq 1$ に対して一様に $L^p$ および $H^1$ 有界性を確立することで、収束の解析を可能にする。
• 非相対論的方程式の解の一意性（クワンゴンの定理）を用いて、極限を唯一の非負で径対称な地面状態解として特定する。
• 正則性の議論を用いて、極限方程式の非常に弱い解が実際に $H^1(\mathbb{R}^n)$ 内の弱解であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\mu > 0$ および $p \in (2, 2n/(n-1))$ に対して、擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式の地面状態解は存在するか？
• RQ2 これらの地面状態解は正であり、平行移動を除いて径対称的で、符号が一つであるか？
• RQ3 光速 $c \to \infty$ のとき、地面状態解の列 $u_c$ は $H^1(\mathbb{R}^n)$ 内で強い収束を示すか？
• RQ4 $c \to \infty$ のときの $u_c$ の極限は、古典的非線形シュレーディンガー方程式の地面状態解と一致するか？

主な発見

• ネハリ多様体上での最小化により、すべての $\mu > 0$、$c \geq 1$、$p \in (2, 2n/(n-1))$ に対して地面状態解が存在することが示された。
• すべての地面状態解は正であり、平行移動を除いて径対称的で、符号が一つである。これにより、先行研究における曖昧さが解消された。
• 地面状態解 $u_c$ は $c \geq 1$ に対して一様に $L^p(\mathbb{R}^n)$ および $H^1(\mathbb{R}^n)$ に有界であり、極限解析が可能である。
• $c \to \infty$ のとき、地面状態解 $u_c$ は $H^1(\mathbb{R}^n)$ 内で、唯一の非負で径対称な古典的非線形シュレーディンガー方程式の地面状態解に強い収束する。
• 極限解は非相対論的方程式 $-\frac{1}{2m}\Delta u + \mu u = |u|^{p-2}u$ を満たし、一意性定理によって特定される。
• 非常に弱い解が実際に $H^1(\mathbb{R}^n)$ 内の弱解であることが示され、極限の正則性が保証された。