[論文レビュー] Nonrepetitive Paths and Cycles in Graphs with Application to Sudoku

David Eppstein|ArXiv.org|Jul 20, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

この論文では、辺ラベル付きグラフを非ラベル付きグラフに線形時間で変換する手法を紹介しており、元のグラフと変換後のグラフの間で、連続する辺が同じラベルを持たない非反復的パス（非反復パス）が一対一に対応する。この手法により、非反復パスおよびサイクルの効率的な検出が可能となり、特にスロットル・パズルの解法に応用され、ローカルルールのみで解けない72.5%のパズルを非ローカルルールによって解けるようにする。

ABSTRACT

We provide a simple linear time transformation from a directed or undirected graph with labeled edges to an unlabeled digraph, such that paths in the input graph in which no two consecutive edges have the same label correspond to paths in the transformed graph and vice versa. Using this transformation, we provide efficient algorithms for finding paths and cycles with no two consecutive equal labels. We also consider related problems where the paths and cycles are required to be simple; we find efficient algorithms for the undirected case of these problems but show the directed case to be NP-complete. We apply our path and cycle finding algorithms in a program for generating and solving Sudoku puzzles, and show experimentally that they lead to effective puzzle-solving rules that may also be of interest to human Sudoku puzzle solvers.

研究の動機と目的

• 辺ラベル付きグラフにおける連続する辺が同じラベルを持たない非反復パスおよびサイクルを効率的に検出するためのアルゴリズム的フレームワークの開発。
• このフレームワークをスロットル・パズルの解法に応用し、非ローカル制約を通じて人間の推論に類似した方法をモデル化すること。
• ローカルな除外を越えたルールベースの解法技術の特定および実装により、パズル解法の効率を向上させること。
• 非反復パスおよびサイクル検出の実用的有効性を、現実世界のパズル生成および解法において示すこと。

提案手法

• 辺ラベル付きグラフ G から非ラベル付き有向グラフ nr(G) への変換を構築し、G における非反復パスが nr(G) におけるパスと一対一に対応するようにし、頂点および辺の数が O(m) となるようにする。
• nr(G) における強連結性解析を用いて、G における非反復サイクルに属する辺を線形時間で特定する。
• nr(G) における深さ優先探索を用いて、与えられた頂点およびラベルから始まる非反復パスを経由して到達可能なすべての辺を線形時間で特定する。
• 無向グラフの場合、非反復単純パスの存在をテストする線形時間アルゴリズムを用い、非反復単純サイクルに属する辺を O(m²) 時間で列挙する。
• 有向グラフの場合、非反復単純パスまたはサイクルの存在を確認することは NP 完全であることを示し、このアプローチの計算量的限界を確立する。
• スロットル・パズルをフラグラベル付きの二部グラフとしてモデル化し、非反復パスおよびサイクル検出を適用して非ローカル解法ルールを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺ラベル付きグラフにおける非反復パスおよびサイクルは、グラフ変換を用いて効率的に検出可能か？
• RQ2 有向グラフと無向グラフにおける非反復単純パスおよびサイクルの検出の計算量的複雑性は何か？
• RQ3 非反復パスおよびサイクル検出は、スロットル・パズルの効果的で人間の推論に類似した解法ルールを導出するためにどのように応用可能か？
• RQ4 非反復パスに基づくルールは、ローカル制約伝搬を越えて、スロットル・パズルの解法可能性をどの程度向上させるか？

主な発見

• G から nr(G) への変換は非反復パスおよびサイクルを保持しており、頂点ごとのラベル群が事前に整列されていると仮定すれば線形時間で計算可能である。
• 無向グラフにおける非反復サイクルは、nr(G) における強連結性解析を用いて線形時間で検出可能である。
• 無向グラフにおける非反復単純パスの存在は、任意の二頂点間で線形時間でテスト可能である。
• 有向グラフにおける非反復単純パスの検出問題は NP 完全であることが示され、このアプローチの計算量的境界が明確にされた。
• 実験的評価では、非ローカルルールとして非反復パスおよびサイクル検出を用いることで、ローカルルールのみで解けないパズルの72.5%が解けるようになった。
• 非反復サイクルルールはスロットル・パズルのサイズ B×B に対して O(B⁴) 時間で実装可能であり、反復サイクルおよび矛盾パスルールは O(B⁸) 時間で実装可能である。