[論文レビュー] Nonsmooth Aggregative Games with Coupling Constraints and Infinitely Many Classes of Players

Paulin Jacquot, Cheng Wan|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2018

Game Theory and Applications参考文献 42被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らでない費用関数、集約的制約、無限に多くのプレイヤークラスを有する非原子的集約的ゲームにおいて、変分 Wardrop equilibrium（VWE）の存在および一意性を確立する。強い単調性のもとで、有限プレイヤー近似（擬似-VNE）が真の均衡に収束することを示し、無限次元空間における一般化変分不等式を用いる。

ABSTRACT

After defining a pure-action profile in a nonatomic aggregative game, where players have specific compact convex pure-action sets and nonsmooth convex cost functions, as a square-integrable function, we characterize a Wardrop equilibrium as a solution to an infinite-dimensional generalized variational inequality. We show the existence of Wardrop equilibrium and variational Wardrop equilibrium, a concept of equilibrium adapted to the presence of coupling constraints, in monotone nonatomic aggregative games. The uniqueness of (variational) Wardrop equilibrium is proved for strictly or aggregatively strictly monotone nonatomic aggregative games. We then show that, for a sequence of finite-player aggregative games with aggregative constraints, if the players' pure-action sets converge to those of a strongly (resp. aggregatively strongly) monotone nonatomic aggregative game, and the aggregative constraints in the finite-player games converge to the aggregative constraint of the nonatomic game, then a sequence of so-called variational Nash equilibria in these finite-player games converge to the variational Wardrop equilibrium in pure-action profile (resp. aggregate-action profile). In particular, it allows the construction of an auxiliary sequence of games with finite-dimensional equilibria to approximate the infinite-dimensional equilibrium in such a nonatomic game. Finally, we show how to construct auxiliary finite-player games for two general classes of nonatomic games.

研究の動機と目的

• 連続的行動集合および滑らでない費用関数を有する非原子的集約的ゲームの理論的枠組みの欠如に応える。
• 結合的集約的制約を有するゲームにおける厳密な均衡概念—変分 Wardrop equilibrium（VWE）—を提供する。
• 強い単調性条件下で、有限プレイヤー近似（擬似-VNE）が VWE に収束することを確立する。
• 複雑な非原子的ゲームを近似するための、補助的有限プレイヤーゲームの一般化された構築法を開発する。
• 行動集合が異質的で連続的であり、報酬関数が滑らでない設定において、有限プレイヤーゲームと非原子的ゲームの間のギャップを埋める。

提案手法

• 異質的でコン pact かつ凸な行動集合を有するプレイヤー連続体をモデル化するため、純粋行動プロファイルを平方可積分関数として形式化する。
• 変分 Wardrop equilibrium（VWE）を無限次元一般化変分方向不等式（GVI）の解として特徴付ける。
• 単調性および凸性仮定（強い単調性または集約的強い単調性）を用いて、VWE の存在および一意性を証明する。
• 元の非原子的ゲームに収束する集約的制約を有する有限プレイヤーゲームの列（擬似-AAS）を構築する。
• 有限プレイヤーゲームにおける擬似変分ナッシュ均衡（擬似-VNE）を、集約的影響を無視した有限次元 GVI の解として定義する。
• 強い単調性のもとで、集約的行動または純粋行動プロファイルにおける擬似-VNE 解の収束が VWE に成立し、明示的な誤差バウンドを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らでない費用関数および結合的集約的制約を有する非原子的集約的ゲームにおいて、変分 Wardrop equilibrium が存在する条件は何か？
• RQ2 このようなゲームにおいて、変分 Wardrop equilibrium はいつ一意的か？
• RQ3 結合的制約を有する非原子的ゲームの有限プレイヤー近似は、真の VWE に収束するか？
• RQ4 連続的行動集合および滑らでない費用関数を有する与えられた非原子的ゲームを近似する有限プレイヤーゲームをどのように構築できるか？
• RQ5 単調性パラメータおよび近似誤差を用いて、有限プレイヤー均衡が VWE に収束するレートを支配する誤差バウンドは何か？

主な発見

• 滑らでない費用関数および結合的集約的制約を有する単調な非原子的集約的ゲームにおいて、変分 Wardrop equilibrium（VWE）が存在する。
• ゲームが厳密に単調または集約的に厳密に単調である場合、VWE は一意的である。
• 強単調性（モジュラス β）のもとで、擬似-VNE の集約的行動プロファイルは、誤差バウンド ‖X̂ν − X*‖² ≤ (1/β)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν) で VWE に収束する。
• 強い単調性（モジュラス α）のもとで、擬似-VNE の純粋行動プロファイルは L²-ノルムで VWE に収束し、誤差バウンド ‖ψν(𝐱̂ν) − 𝐱*‖²₂ ≤ (1/α)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν) を満たす。
• 集約的制約がない場合、KA および Dν をゼロに設定することで誤差バウンドが簡略化される。
• 有限プレイヤーゲームの行動集合および制約が非原子的ゲームのそれらに収束し、δ̄ν、Dν、ḋν に対して適切な誤差制御がなされている限り、収束結果は成り立つ。