[論文レビュー] Nonsmoothable actions of Z2 * Z2 on spin four-manifolds

Yuya Kato|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての部分群がある滑らかさ構造において滑らかに作用するにもかかわらず、全体としては滑らかにできない局所的に線形な ℤ₂×ℤ₂作用を、スピン4次元多様体上に構成する。Seiberg-Witten理論から導かれるFurutaの10/8不等式の等変版を用いて、固定点構造と奇数の対合に関するインデックス理論を分析することで、このような作用が滑らかにできないことを証明する。

ABSTRACT

We construct some nonsmoothable actions of Z2 * Z2 on spin four-manifolds by using an equivariant version of Furuta' s 10/8inequality. The examples satisfy following property: any proper subgroup of Z2 * Z2 is smoothable for some smooth structure.

研究の動機と目的

• スピン4次元多様体上に、すべての部分群がある滑らかさ構造において滑らかに作用するにもかかわらず、全体としては滑らかにできない局所的に線形な ℤ₂×ℤ₂作用の例を構成すること。
• スピン4次元多様体上の奇数の対合に対して、スピン^c構造を保存するとは限らない条件下で、Furutaの10/8不等式を等変設定に拡張すること。
• 個々の ℤ₂作用が滑らかにできる滑らかさ構造が存在するが、任意の滑らかさ構造においても全組み合わせ ℤ₂×ℤ₂作用が滑らかにできないような4次元多様体の存在を示すこと。
• 非自由な奇数の対合に対して、NakamuraのSeiberg-Witten理論の定式化を一般化し、固定点集合とインデックス理論的障害の解析を可能にする。

提案手法

• Seiberg-Witten理論とゲージ理論的技法を用いて、奇数の対合を備えた滑らかなスピン4次元多様体に対する等変10/8定理のバージョンを開発する。
• 等変インデックス定理を適用して、不変部分空間上のディラック作用素の実インデックスを計算し、重要な不等式 $ b_{+}^{I}(X) \geq -\frac{1}{16}\tau(X) $ を得る。
• ℤ₄の有限次元表現間の等変写像に関するtom Dieckの公式を用いて、次数写像のトレースから位相的障害を導出する。
• コhomology不変量 $ H^k(X;\R)^{\langle I_1,I_2\rangle} $ と交差形式の不変部分空間への制限を分析し、$ b_{+}^{\langle I_1,I_2\rangle}(X) $ を定義する。
• 整数 $ l_1, l_2, k $ が $ l_1, l_2 \geq 3k $、$ k \geq 1 $ を満たすようにパラメータ化された、$ S^2 \times S^2 $ とK3多様体の連結和を用いた明示的構成を行う。
• 滑らかにできない主な障害は、個々の $ \mathbb{Z}_2 $-作用が滑らかにできるにもかかわらず、$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $-等変インデックスの非自明性に起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン4次元多様体上に、すべての部分群がある滑らかさ構造において滑らかに作用するにもかかわらず、全体としては滑らかにできない局所的に線形な $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $-作用が存在しうるか？
• RQ2 スピン4次元多様体上の奇数の対合に対して、スピン^c構造を保存するとは限らない場合のFurutaの10/8不等式の等変類似は何か？
• RQ3 奇数の対合の固定点集合構造は、群作用の滑らかさにどのような制限を課えるか？
• RQ4 Seiberg-Witten理論からのインデックス理論的障害は、非自由かつスピン^c構造を保存しない群作用に対しても、スピン4次元多様体上に拡張可能か？
• RQ5 交差形式とベッチ数にどのような条件が満たされると、部分群が滑らかにできるにもかかわらず、$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $-作用が滑らかにできないことが保証されるか？

主な発見

• 整数 $ l_1, l_2, k $ が $ l_1, l_2 \geq 3k $ かつ $ k \geq 1 $ を満たすとき、$ X = (2l_1 + 2l_2 + 1 - 6k)(S^2 \times S^2) \sharp 4k(K3) $ 上に、任意の滑らかさ構造において滑らかにできない局所的に線形な $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $-作用が存在する。
• すべての $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ の部分群は、多様体のある滑らかさ構造において $ X $ 上で滑らかに作用する。
• 主な障害は等変10/8定理に起因する：$ b_{+}^{\langle I_1, I_2 \rangle}(X) \geq \frac{1}{4} \left( -\frac{\sigma(X)}{4} + \mathrm{index}_{I_1 \circ I_2} D \right) $、ここで $ \mathrm{index}_{I_1 \circ I_2} D $ は非自明である。
• Ewing-Edmondsの手法を避ける代わりに、非自由かつ奇数の対合を想定した等変Seiberg-Witten理論に特化した手法を用いる。
• 奇数の対合に対して、不等式 $ b_{+}^{I}(X) \geq -\frac{1}{16}\sigma(X) $ が成り立ち、等号成立はインデックス条件が飽和している場合に限る。
• 複素化された等変写像とtom Dieckの公式を用いて、次数写像のトレースが代数的整数でなければならないことを示し、$ b_{+}^{\langle I_1, I_2 \rangle}(X) \geq k $、ここで $ k = -\frac{1}{16}\sigma(X) $ を得る。