[論文レビュー] Nonsoluble and non-p-soluble length of finite groups

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限群の非可解長 λ(G) および非 p-可解長 λₚ(G) に対して、それぞれその可解部分群の 2-長さおよび p-長さに基づく上界を確立する。λ(G) ≤ 2L₂ + 1 および p ≠ 2 のとき λₚ(G) ≤ Lₚ を証明し、残留可解群における単語部分群に関する以前の証明における欠陥を是正する応用を含む。

ABSTRACT

Every finite group $G$ has a normal series each of whose factors either is soluble or is a direct product of nonabelian simple groups. We define the nonsoluble length $λ(G)$ as the minimum number of nonsoluble factors in a series of this kind. Upper bounds for $λ(G)$ appear in the study of various problems on finite, residually finite, and profinite groups. We prove that $λ(G)$ is bounded in terms of the maximum $2$-length of soluble subgroups of $G$, and that $λ(G)$ is bounded by the maximum Fitting height of soluble subgroups. For an odd prime $p$, the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ is introduced, and it is proved that $λ_p(G)$ does not exceed the maximum $p$-length of $p$-soluble subgroups. We conjecture that for a given prime $p$ and a given proper group variety ${\frak V}$ the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ of finite groups $G$ whose Sylow $p$-subgroups belong to ${\frak V}$ is bounded. In this paper we prove this conjecture for any variety that is a product of several soluble varieties and varieties of finite exponent.

研究の動機と目的

• 有限群の非可解長 λ(G) に対して、その可解部分群の構造的性質に基づく上界を確立すること。
• 奇素数 p に対して非 p-可解長 λₚ(G) を定義し、非可解長と類似する形で評価すること。
• Sylow p-部分群が可解群および有限指数の多様体の積に含まれる有限群について、非 p-可解長が有界であるという予想を解決すること。
• Khukhro & Shumyatsky (2012) の論文における、残留可解群における単語部分群に関する命題 3.3 の証明における重大な誤りを是正すること。
• フィッティング高さおよび非可解長の上界を用いて、残留可解群における単語部分群の指数の有界性を再証明すること。

提案手法

• G の正規系列において、可解群または非アーベル単純群の直積因子からなる非可解因子の最小個数として、非可解長 λ(G) を定義する。
• 系列定義における「可解」を「p-可解」に置き換えることで、非 p-可解長 λₚ(G) を導入する。
• 可解部分群の最大 2-長さを用いて、正規系列の再帰的構成により λ(G) を上界で抑え込む。
• p-可解部分群の最大 p-長さを用いて λₚ(G) を上界で抑え込み、p ≠ 2 の場合に洗練された証明を適用する。
• 可解部分群の最大フィットティング高さによって λ(G) を上界で抑え込む Corollary 1.2 を活用し、以前の証明における誤った議論を是正する。
• ジョーンズの結果（無限個の有限単純群が生成する群多様体の族）を応用し、系列の非可解部の位数を上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 G の非可解長 λ(G) は、その可解部分群の 2-長さの関数として有界にできるか？
• RQ2 奇素数 p に対して、非 p-可解長 λₚ(G) は、p-可解部分群の p-長さによって有界にできるか？
• RQ3 Sylow p-部分群が可解群および有限指数の多様体の積に含まれる有限群について、非 p-可解長 λₚ(G) は有界に保たれるか？
• RQ4 Khukhro & Shumyatsky (2012) の Lemma 2.5 の誤りは、非可解長の新しい上界を用いて是正可能か？
• RQ5 誤った補題に依存せずに、残留可解群における単語部分群の指数の有界性を再証明できるか？

主な発見

• 有限群 G の非可解長 λ(G) は、G の可解部分群の最大 2-長さ L₂ を用いて 2L₂ + 1 で上界が与えられる。
• p ≠ 2 のとき、非 p-可解長 λₚ(G) は、G の p-可解部分群の最大 p-長さによって上界が与えられる。
• 非可解長 λ(G) は、G の可解部分群の最大フィットティング高さによって上界が与えられる。
• Sylow p-部分群が可解群および有限指数の多様体の積に含まれる有限群について、非 p-可解長 λₚ(G) が有界であるという予想は、真であると証明された。
• Khukhro & Shumyatsky (2012) の単語部分群に関する証明における誤りは、Corollary 1.2 および非可解長の新しい上界を用いて是正された。
• 再構築された証明により、すべての 896 δₖ-交換子の積の位数が n で割り切れ、生成元が位数制約を満たすとき、有限群 G の位数が k, m, n の関数として上界で抑えられることが示された。