[論文レビュー] Nonsqueezing property of the coupled KdV type system without Miura transform

Sunghyun Hong, Soonsik Kwon|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、従来のKdV解析で重要な役割を果たすMüller変換に依存せずに、トーラス上の結合KdV系における非圧縮性性質を確立する。周波数截断と部分積分に基づく正準形還元を用いることで、無限次元のハミルトニアン系を有限次元のシンプレクティック系に近似し、$H^{-1/2} \times H^{-1/2}$位相空間において非圧縮性性質が成り立つことを証明する。本手法は結合KdV方程式および標準KdV方程式の両方への応用が可能である。

ABSTRACT

We prove the nonsqueezing property of the coupled Korteweg-de Vries (KdV) equation. Relying on Gromov's nonsqueezing theorem for finite dimensional Hamiltonian systems, the argument is to approximate the solutions to the original infinite dimensional Hamiltonian system by a frequency truncated finite dimensional system, and then the nonsqueezing property is transferred to the infinite dimensional system. This is the argument used by Bourgain for the 1D cubic NLS flow, and Colliander et. al. for the KdV flow. One of main ingredients of \cite{Colliander:2005vv} is to use the Miura transform to change the KdV flow to mKdV flow. In this work, we consider the coupled KdV equations for which the Miura transform is not available. Instead of the Miura transform, we use the method of the normal form via the differentiation by parts. Although we present the proof for the coupled KdV equation, the same proof is applicable to the KdV flow, and so provide alternative simplified proof for the KdV flow.

研究の動機と目的

• Müller変換を用いない状況下で、結合KdV系のシンプレクティック非圧縮性を確立すること。
• BourgainとCollianderの有限次元近似法を結合KdV系に拡張すること。
• Müller変換の代わりに部分積分を用いることで、標準KdV方程式の非圧縮性に対する代替的で簡略化された証明を提供すること。
• 微分による部分積分に基づく正準形法が、ハミルトニアンPDEの低正則性解の制御に有効であることを示すこと。

提案手法

• 周波数截断を用いて、無限次元の結合KdV系の流れを有限次元のハミルトニアン系に近似する。
• 部分積分に基づく正準形還元を用いて、截断系内の非線形相互作用を制御する。
• 解を低周波数、中周波数、高周波数成分に分解し、$Y^{-1/2}$および$Z^{-1/2}$ノルムにおける誤差項を推定する。
• Gromovの非圧縮性定理を有限次元截断系に適用し、その結果を元の無限次元系に移行する。
• $Y^{-1/2}$ノルムにおける誤差項に一様な有界性を確立し、$\mathcal{O}_{N'}(1)$を満たすことで、近似の安定性を保証する。
• 局所的良設定性とスケーリングの議論を活用し、$Y^{-1/2}$ノルムで小さな初期データを持つ解を比較することで、低周波数成分の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Müller変換を用いずに、結合KdV系における非圧縮性が証明可能か？
• RQ2 既知の簡略化方程式への変換が存在しない系において、有限次元近似法をどのように適応できるか？
• RQ3 部分積分に基づく正準形法が、低正則性設定における非線形項の制御に果たす役割は何か？
• RQ4 周波数截断系は、元の無限次元系の十分なシンプレクティック近似と見なせるか？
• RQ5 本手法は標準KdV方程式にも適用可能であり、Müller変換を避ける簡略化された代替証明を提供できるか？

主な発見

• 結合KdV系は、Müller変換を用いなくても、$H^{-1/2} \times H^{-1/2}$位相空間でシンプレクティック非圧縮性を満たす。
• 著者らは、周波数截断と正準形還元を用いて、結合KdV系の流れの有限次元シンプレクティック近似を構築した。
• 高周波数成分に起因する誤差項は、$Y^{-1/2}$および$Z^{-1/2}$ノルムにおいて$\mathcal{O}_{N'}(1)$で有界であり、近似の安定性が保証される。
• 本手法により、標準KdV方程式の非圧縮性に対する代替的で簡略化された証明が得られ、Müller変換の必要性を回避できる。
• 解が$C_t H_0^{-1/2}$で大域的に有界であると仮定すれば、結果は一般化された結合KdV型系（1.2）へも拡張可能である。