[論文レビュー] Nonstandard numbers for qualitative decision making

Daniel Lehmann|ArXiv.org|Feb 20, 2002

Philosophy and History of Science参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、無限小確率および無限小効用を許容することで期待効用最大化を一般化する、非標準解析に基づく定性的意思決定の枠組みを導入する。非標準実数を用いることで、標準的期待効用理論が厳密な好ましさを要求する状況においても合理的な無差別性を可能にし、微小な結果や最小限の利益を伴うパラドックスを解消する。

ABSTRACT

The consideration of nonstandard models of the real numbers and the definition of a qualitative ordering on those models provides a generalization of the principle of maximization of expected utility. It enables the decider to assign probabilities of different orders of magnitude to different events or to assign utilities of different orders of magnitude to different outcomes. The properties of this generalized notion of rationality are studied in the frameworks proposed by von Neumann and Morgenstern and later by Anscombe and Aumann. It is characterized by an original weakening of their postulates in two different situations: nonstandard probabilities and standard utilities on one hand and standard probabilities and nonstandard utilities on the other hand. This weakening concerns both Independence and Continuity. It is orthogonal with the weakening proposed by lexicographic orderings.

研究の動機と目的

• 標準的期待効用理論が無視可能な確率や最小限の利益に起因する非合理的な好ましさを示す意思決定理論のパラドックスを解消すること。
• 無限小確率および無限小効用を含むが、無差別性の推移性を損なわない合理的意思決定の形式的枠組みを提供すること。
• 非標準的確率と標準的効用、および標準的確率と非標準的効用の下での意思決定ルールを、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの公理の弱化版を用いて特徴付けること。
• 非標準的効用が、ゼロと無限小効用の間の意味的な違いを保ちながら、標準理論が失敗する状況でも合理性を維持できることを示すこと。
• アンスコム＝オーマン枠組みと整合性を保ちながら、主観的確率が非標準的であってもよい条件を確立すること。

提案手法

• ロビンソンのフレームワークを用いて非標準解析により実数を無限小および無限大の量を含むように拡張する。
• 非標準実数上での定性的順序を定義し、2つの値がその比が有限かつ無限小でない場合に定性的に同等であるとみなす。
• 非標準的効用を扱えるように、独立性および連続性公理の弱化版（A2、A’3、A”3）を導入し、無差別性の推移性を保つ。
• フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンおよびアンスコム＝オーマンの意思決定モデルの両方にこの枠組みを適用し、非標準的確率と非標準的効用の違いを明確にする。
• 非標準的効用を用いる場合に標準的主観的確率を保証するため、'サベッジ・ノル'状態の概念を導入する。
• レキシコグラフィック順序を対照例として用い、本手法が従来の期待効用の弱化と直交することを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的期待効用理論が無差別性を要求する状況であっても、無限小確率を伴う出来事の選好が合理的に説明可能か。
• RQ2 無限小値を含む効用において、無差別性の推移性を損なわず、合理性を維持することは可能か。
• RQ3 主な結果が同一であるにもかかわらず、小さな見返りがあるローティーを、何も得られないローティーよりも好むパラドックスを、非標準的効用がどのように解消できるか。
• RQ4 非標準的効用と標準的確率を伴う意思決定ルールを特徴付けるために、必要かつ十分な弱化公理は何か。
• RQ5 本提案枠組みは、好みと連続性の扱いにおいて、レキシコグラフィック順序とどのように異なるか。

主な発見

• 本枠組みにより、無料の雑誌を獲得するか否かという微小な改善のみで異なるローティーについても、意思決定者が無差別であることが可能となり、合理性を損なわない。
• 無限小効用（例：ε）は、ゼロに無限に近いが、定性的にはゼロとは同等でないため、効用の意味的な違いを保つ。
• 標準的確率pと無限小の見返りがあるローティーの効用は、定性的にはpと同等であるが、値としては厳密に大きい。これにより一貫した好ましさの順序付けが可能となる。
• 非標準的確率と標準的効用の状況では、モデルが連続性および独立性の公理を弱化形で保持し、混合行動の一貫性を保証する。
• 非標準的効用と標準的確率の状況を完全に特徴付け、Maximinなどの基準を支持するとともに、無限に望ましい結果を許容できることを示す。
• 本枠組みはレキシコグラフィック順序とは直交する：両者とも極端な状況間の混合の存在を欠く（性質Pを失う）が、レキシコグラフィック順序は混合の同値性の存在まで失う。本モデルは特定の条件下でこれを保持する。