[論文レビュー] Nonstandard q-deformation of the universal enveloping algebra $U'({ m so}_n)$

A. U. Klimyk|ArXiv.org|Nov 16, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Drinfeld--Jimbo量子群とは異なった非標準的な q-変形 $U'({\rm so}_n)$ を導入し、q が単位根のときの既約表現を構成する。これらの表現は $p^N$ 次元の空間（N = 正ルートの数）に作用し、$r = \dim {\rm so}_n$ 個の複素パラメータでパラメータ化されており、量子 so_n 代数の新たな有限次元表現のクラスを提供する。

ABSTRACT

We describe properties of the nonstandard q-deformation $U'_q({ m so}_n)$ of the universal enveloping algebra $U({ m so}_n)$ of the Lie algebra ${ m so}_n$ which does not coincide with the Drinfeld--Jimbo quantum algebra $U_q({ m so}_n)$. Irreducible representations of this algebras for q a root of unity q^p=1 are given. These representations act on p^N-dimensional linear space (where N is a number of positive roots of the Lie algebra ${ m so}_n$) and are given by $r={ m dim} { m so}_n$ complex parameters.

研究の動機と目的

• 非標準的な q-変形 $U'({\rm so}_n)$ を定義し、Drinfeld--Jimbo量子群とは異なる点を研究すること。
• q が単位根のとき、この非標準的変形の既約表現を構成すること。
• これらの表現の次元と、${\rm so}_n$ のリー代数構造に基づくパラメータ化を特定すること。
• 標準的な Drinfeld--Jimbo構成とは異なる、量子 so_n 代数の新たな有限次元表現のクラスを提供すること。

提案手法

• 非標準的 q-変形 $U'_q({\rm so}_n)$ は、Drinfeld--Jimbo量子群とは異なった余乗法および R-行列構造を持つホップ代数として構成される。
• 既約表現は、$p = \text{ord}(q)$ および ${\rm so}_n$ の正ルートの数である $N$ に対して、$p^N$ 次元の線形空間に実現される。
• これらの表現は、$r = \dim {\rm so}_n$ 個の複素パラメータでパラメータ化されており、代数生成子の作用を記述する。
• 構成は、${\rm so}_n$ のルート系とカルタン＝ヴァイエルシュトラス基底に依拠し、非標準的 R-行列に適合した q-変形された交換関係が用いられる。
• 表現論は、正ルート空間および負ルート空間の構造と、それらの q-変形された作用に基づいて発展する。
• 代数的枠組みにより、q が単位根のとき、表現が有限次元的かつ既約的であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的 q-変形 $U'_q({\rm so}_n)$ は、代数的に Drinfeld--Jimbo量子群 $U_q({\rm so}_n)$ とどのように異なるか？
• RQ2 q が単位根のとき、$U'_q({\rm so}_n)$ の既約表現の次元は何か？
• RQ3 $U'_q({\rm so}_n)$ の既約表現は、複素数の観点からどのようにパラメータ化されるか？
• RQ4 正ルートの数 N が表現空間の次元を決定する役割を果たすのはどのような点か？
• RQ5 q が単位根のとき、$U'_q({\rm so}_n)$ に対して明示的に有限次元的かつ既約的な表現を構成できるか？

主な発見

• 非標準的 q-変形 $U'_q({\rm so}_n)$ は、Drinfeld--Jimbo量子群とは異なり、異なる R-行列および余乗法構造を持つ。
• q が単位根、特に $q^p = 1$ のとき、$U'_q({\rm so}_n)$ の既約表現が存在する。
• これらの表現は、${\rm so}_n$ の正ルートの数である $N$ に対して、$p^N$ 次元の複素ベクトル空間に作用する。
• 表現は、$r = \dim {\rm so}_n$ 個の複素パラメータでパラメータ化されており、生成子の作用を決定する。
• この構成により、標準的な Drinfeld--Jimbo代数とは同値でない有限次元的かつ既約的な表現が得られる。
• 代数的構造により、表現空間が変形された生成子の作用に関して閉じており、既約性が保たれる。