[論文レビュー] Nonstandard quantum groups associated to Belavin-Drinfeld triples

Timothy J. Hodges|ArXiv.org|Sep 23, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非標準的量子群を、既知の多パラメータ量子群を、非交差ベルアビン＝ドリンフェルド三つ組から得られる2-コサイクルを用いてねじる（twist）ことによって構成する。この構成法は、SL(3)のクレメール＝ジャーヴィス型量子化を一般化し、半単純代数群に非標準的量子群構造を体系的に得るためのホップ代数のねじり法を提供する。

ABSTRACT

A construction is given of a family of non-standard quantizations of the algebra of functions on a connected complex semi-simple algebraic group. For each ``disjoint'' triple in the sense of Belavin and Drinfeld, a 2-cocycle is constructed on certain multi-parameter quantum groups. The new non-standard quantum groups are the Hopf algebras obtained by twisting the known quantum groups by these 2-cocycles. In particular, the Cremmer-Gervais quantization of $SL(3)$ can be constructed in this way.

研究の動機と目的

• 非交差ベルアビン＝ドリンフェルド三つ組に関連する非標準的量子群の体系的構成法を開発すること。
• 標準的ドリンフェルド＝ジモボ量子群の理論を、標準的でないものへと拡張すること。
• 非標準的R行列とその関連する量子代数を統一的に理解するための枠組みを提供すること。
• クレメール＝ジャーヴィス型SL(3)量子化が、このねじり手続きから自然に生じることを示すこと。
• 多パラメータ量子群上の2-コサイクルを用いた、量子群の一般化されたねじり法を確立すること。

提案手法

• 論文は、ベルアビンとドリンフェルドの定義における非交差性を満たすベルアビン＝ドリンフェルド三つ組を用いて、量子群の構造を定義する。
• そのような三つ組に関連する多パラメータ量子群上に2-コサイクルを構成する。
• その2-コサイクルを用いて、量子群の余乗法をねじり、新たなホップ代数構造を得る。
• ねじりは代数的構造を保存しつつ、余代数的構造と反作用を変形する。
• このねじり法は、元の量子群の準三角的構造と整合的であることが示される。
• この方法は、任意の連結な複素半単純代数群に対して、クレメール＝ジャーヴィスの構成法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的量子群は、ベルアビン＝ドリンフェルド三つ組からどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 2-コサイクルは、標準的量子群構造を変形するために果たす役割は何か？
• RQ3 SL(3)のクレメール＝ジャーヴィス型量子化は、一般のねじり機構から導出可能か？
• RQ4 ベルアビン＝ドリンフェルド三つ組にどのような条件を課すと、有効な2-コサイクルのねじりが可能になるか？
• RQ5 ねじり手続きは、得られる量子群の準三角的構造とR行列にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非交差ベルアビン＝ドリンフェルド三つ組ごとに、多パラメータ量子群上に明示的な2-コサイクルが構成される。
• その結果得られるねじられたホップ代数は、標準的ドリンフェルド＝ジモボ量子群とは異なる非標準的量子群である。
• クレメール＝ジャーヴィス型SL(3)量子化は、この構成法によって多パラメータ量子群のねじりとして実現される。
• ねじりは代数的構造を保存しつつ、余代数的構造と反作用を変形し、新たな準三角的ホップ代数を生成する。
• この方法は、任意の連結な複素半単純代数群に対して非標準的量子群を構成する一般化されたメカニズムを提供する。
• この構成法はすべての非交差三つ組に対して有効であり、既知の例をより広いクラスの量子群へ一般化する。