[論文レビュー] Nonstatic cylindrically symmetric vacuum spacetimes in generalized Kasner form

Özgür Delice|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2004

Advanced Differential Geometry Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、計量関数の分離可能性を仮定することで、非定常で軸対称な真空中時空を調査し、静的な Levi-Civita の場合の各パラメータ値に対して2つの非定常解を導出する。主な結果は、既存の時間に依存する真空中解を拡張する一般化された解であり、円柱対称性において Birkhoff 型の定理が成立しないこと、および円柱対称的崩壊中に重力波が放出可能であることを強調している。

ABSTRACT

Cylindrically symmetric nonstatic vacuum space-times are studied assuming the separability of the metric functions. We see that for any value of the parameter of the static case, there are two corresponding nonstatic solutions in general. Some of the physical properties of the solutions are discussed and compared with the static Levi-Civita spacetime. According to Birkhoff’s theorem all spherically symmetric vacuum spacetimes can be represented by a static solution, namely, the Schwarzschild solution. Due to this fact, there is no gravitational wave emitted during spherical collapse. However, the situation drastically changes when we consider cylindrically symmetric systems since there is no analogue of this theorem in cylindrical symmetry. During gravitational collapse of a cylindrically symmetric system, gravitational waves are emitted and the exterior region of a collapsing cylindrical body is not static [1]. Time-dependent solutions of Einstein equations were studied for different cylindrical systems. An expanding cylindrical radiation filled universe [2], a radiation universe with heat flow [3], nonstatic cosmic strings with a time dependent vacuum exterior [4, 5, 6], nonstatic global strings [7] are some examples of such solutions. It is important to have time dependent vacuum solutions if one wants to match a cylindrical time dependent source with vacuum exterior region. Thus in this paper, we will study cylindrically symmetric time dependent vacuum solutions. It turns out that our solution will be generalization of a solution presented in some of the above papers. If ∂z and ∂φ are the axial and the angular killing vectors desribing cylindrical symmetry, then the most general cylindrically symmetric metric in diagonal form can be written as [8]: ds 2 = e 2(K−U) (−dt 2 + dr 2) + e 2U dz 2 + e −2U W 2 dφ 2, (1)

研究の動機と目的

• 円柱対称性において Birkhoff 型の定理が成立しない非定常な円柱対称な真空中解を調査すること。
• 既知の静的および動的解を一般化する時間に依存する真空中解が存在するかどうかを特定すること。
• 導出された非定常解の物理的性質を静的な Levi-Civita 時空と比較すること。
• 一般相対性理論において、時間に依存する円柱対称の源と真空中外部をマッチングするための枠組みを確立すること。
• 円柱対称性において計量関数の分離可能性が、正確な解を構築する上で果たす役割を調査すること。

提案手法

• 一般の円柱対称な対角計量形式における計量関数の分離可能性を仮定する。
• 計量のアンザッツを用いる：ds² = e²⁽ᴷ⁻ᵁ⁾(−dt² + dr²) + e²ᵁ dz² + e⁻²ᵁ W² dφ²、ここで K, U, W は r と t の関数である。
• 分離可能な計量にアインシュタインの真空中場方程式を適用し、偏微分方程式系を導出する。
• 分離可能性の仮定の下で方程式を解き、静的パラメータ値ごとに2つの非定常解を得る。
• 導出された解を静的な Levi-Civita 時空および先行研究からの既知の時間に依存する解と比較する。
• 重力波放出の文脈において、曲率および因果的構造を含む解の物理的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量関数の分離可能性を仮定した場合、非定常で円柱対称な真空中解を導出可能か？
• RQ2 これらの非定常解は、静的な Levi-Civita 時空と物理的にどのように比較できるか？
• RQ3 円柱対称性において Birkhoff 型の定理が成立しないことは、重力波放出にどのように関係するか？
• RQ4 導出された解は、既存の時間に依存する円柱系の真空中解をどのように一般化するか？
• RQ5 これらの解は、時間に依存する円柱対称の源と真空中外部をマッチングする上で、どのような意味を持つか？

主な発見

• 静的な Levi-Civita 解の各パラメータ値に対して、2つの非定常な真空中解が得られ、時間に依存する場合に解空間がより豊かであることが示された。
• 導出された解は、非定常な宇宙ひもやグローバルひもを含む、既存の時間に依存する円柱系真空中解を一般化している。
• 円柱対称性において Birkhoff 型の定理が成立しないことは、円柱対称的物体の崩壊中に重力波が放出可能であることを示している。
• 解は計量関数に明示的な時間依存性を示しており、崩壊する円柱対称源の外部時空が静的でないことを確認している。
• 分離可能性の仮定により、正確で物理的に意味のある真空中解を得られる取り扱いやすい方程式系が得られた。
• 非定常解の物理的性質は、静的解とは顕著に異なり、特に曲率および因果的構造において、重力放射の放出を支持している。