[論文レビュー] Nonuniform Dichotomy Spectrum and Normal Forms for Nonautonomous Differential Systems

Xiang Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非一様指数的ディコトミーを許容する線形部に対して非一様ディコトミースペクトルを導入することにより、非自己同型非線形微分系の有限ジェット正規形を確立する。スペクトル条件のもとで、有界で時刻に依存する多項式変換を用いて、系を正規形に変換できることを証明し、古典的正規形理論を非一様双曲的性質を有する非自己同型設定へと拡張する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the normal forms of nonautonomous differential systems. For doing so, we first investigate the nonuniform dichotomy spectrum of the linear evolution operators that admit a nonuniform exponential dichotomy, where the linear evolution operators are defined by nonautonomous differential equations $\dot x=A(t)x$ in $\R^n$. Using the nonuniform dichotomy spectrum we obtain the normal forms of the nonautonomous linear differential equations. Finally we establish the finite jet normal forms of the nonlinear differential systems $\dot x=A(t)x+f(t,x)$ in $\R^n$, which is based on the nonuniform dichotomy spectrum and the normal forms of the nonautonomous linear systems.

研究の動機と目的

• 古典的正規形理論を非一様双曲的性質を有する非自己同型微分系へと拡張すること。
• 非自己同型系に関連する線形進化作用素の非一様ディコトミースペクトルを定義し、その分析を行うこと。
• スペクトル的および力学的性質を用いて、形式 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ の非線形系の有限ジェット正規形を構成すること。
• 系を正規形に還元する有界で時刻に依存する多項式変換の存在を証明すること。
• 非一様双曲的かつ非自己同型な設定において、自己同型および一様双曲的系に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 非一様指数的ディコトミーを許容しない $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$ のために、$\gamma \in \mathbb{R}$ の集合として非一様ディコトミースペクトル $\Sigma(A)$ を導入する。
• 時間に依存する境界を伴う非一様指数的ディコトミーを定義し、$K$, $\alpha < 0 < \beta$, および $\mu, \nu \geq 0$ を満たすものとし、$\alpha + \mu < 0$, $\beta - \nu > 0$, および $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$ を満たすものとする。
• 不変射影 $P(t)$ と進化作用素 $\Phi(t,s)$ を用いて、ディコトミー構造とスペクトル分解を特徴付ける。
• 逐次近似法を用いて、$x = y + h(t,y)$ の形の有界で時刻に依存する変換 $h(t,y)$ を構成する。ここで $h(t,y)$ は次数 $2k-5$ の多項式である。
• 積分評価と指数的減衰評価を用いて、$h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$ の係数の再帰的推定を導出する。この評価には $\varrho$, $\omega_{\tau,j}$, および $D_{\tau,j}$ が関与する。
• 数学的帰納法を用いて変換の収束性と有界性を確立し、$t \neq 0$ に対して $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様指数的ディコトミーを有する非自己同型系に対して、正規形理論を拡張することは可能か？
• RQ2 非一様ディコトミースペクトルはどのように定義され、非一様線形自己同型系のスペクトル分解において果たす役割は何か？
• RQ3 有界で時刻に依存する多項式変換を用いて、非線形非自己同型系 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ を正規形に変換できる条件は何か？
• RQ4 正規形構成における変換係数の減衰率および有界性の性質は何か？
• RQ5 スペクトル条件 $\alpha + \mu < 0$, $\beta - \nu > 0$, および $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$ は、正規形の存在性および正則性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非一様ディコトミースペクトル $\Sigma(A)$ は適切に定義されており、摂動系 $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$ が非一様指数的ディコトミーを許容しない値 $\gamma$ を特徴付ける。
• 線形系 $\dot{x} = A(t)x$ は、スペクトル区間に対応する不変線形積分多様体への分解を有し、スペクトル解析を可能にする。
• 非線形系 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ に対して、次数 $2k-5$ の時刻に依存する多項式変換 $x = y + h(t,y)$ を用いて、系を正規形 $\dot{y} = By + g(t,y)$ に変換できる。
• 変換の係数 $h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$ は一様有界であり、指数的減衰評価 $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$ ($t \neq 0$) を満たす。
• 変換は次数 $2k-5$ まで正規形に達し、変換係数は有界であり、帰納法と積分評価により収束性が保証される。
• 構成法により、正規形は有限ジェット正規形であることが保証され、変換は有限次多項式であり、剰余項は高次の項となる。これにより、スペクトル構造が保存される。