[論文レビュー] Nonuniform $(\mu, u)$-dichotomies and local dynamics of difference equations

António J. G. Bento, César M. Silva|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非一様 $(\mu, \nu)$-分岐を示す非自己同型線形差分方程式の摂動に対して、局所的安定多様体の定理を確立する。これは、一様および非一様部分の任意の成長率を許容する。一般の非線形摂動のもとで、安定多様体の存在およびホルダー型の減衰推定を証明し、リャプノフ指数がゼロである場合や多項式的・非指数的分岐を含む、古典的結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

We obtain a local stable manifold theorem for perturbations of nonautonomous linear difference equations possessing a very general type of nonuniform dichotomy, possibly with different growth rates in the uniform and nonuniform parts. We note that we consider situations were the classical Lyapunov exponents can be zero. Additionally, we study how the manifolds decay along the orbit of a point as well as the behavior under perturbations and give examples of nonautonomous linear difference equations that admit the dichotomies considered.

研究の動機と目的

• 非常に一般な非一様分岐のクラスの下で、非自己同型線形差分方程式の摂動に対する局所的安定多様体の定理を確立すること。
• 既存の結果を指数的分岐に限らず、多項式的およびその他の非指数的成長率を含むように拡張すること。
• 安定多様体に沿った解の減衰行動とその摂動依存性を分析すること。
• 古典的リャプノフ指数がゼロである場合でも有効なフレームワークを提供し、より広範な双曲的類似ダイナミクスをカバーすること。
• 摂動空間上の適切な距離を用いて、安定多様体の連続性を定量すること。

提案手法

• 一様部分の成長率 $\mu_n$ と非一様部分の成長率 $\nu_n$ を別々に許容する一般化された非一様 $(\mu, \nu)$-分岐を導入する。
• 関数列のバナッハ空間における固定点定理を用い、関数 $\phi$ のグラフとして安定多様体を構成し、収縮条件を満たす。
• 重み $\beta_n$ を持つホルダー的関数の空間上で、グラフ変換技術を収縮写像原理を用いて適用する。
• 分岐の境界と摂動構造を用いて、安定多様体上での解の減衰推定を確立する。
• 距離 $\|f - \bar{f}\|''' = \sup \frac{\|f_n(u) - \bar{f}_n(u)\|}{\|u\|^{q+1}}$ を用いて、異なる摂動に対応する安定多様体間の距離の境界を導出する。
• 成長率と収縮率を制御するため、演算子ノルム $\|A_{k+1,n}^{-1} Q_{k+1}\|$ と重み $\mu_n^a \nu_n^\varepsilon$ を用いた推定を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的・非指数的分岐を示す非自己同型差分方程式に対して、局所的安定多様体の定理を確立できるか？
• RQ2 分岐が一様部分と非一様部分で異なる成長率を持つ場合、安定多様体に沿った解の減衰はどのように進行するか？
• RQ3 安定多様体は摂動に依存するが、その依存関係は適切な距離でどのように定量できるか？
• RQ4 古典的リャプノフ指数がゼロである場合（例：多項式的分岐）を含む理論は可能か？
• RQ5 一般の非線形摂動のもとで、固定点法による安定多様体の収束が成立する条件は何か？

主な発見

• 非一様 $(\mu, \nu)$-分岐を示す非自己同型線形差分方程式の摂動に対して、局所的安定多様体が存在する。成長率は任意である。
• 安定多様体は、$a < 0$, $\varepsilon \geq 0$ のもとで、$C \left( \frac{\mu_m}{\mu_n} \right)^a \nu_\varepsilon^n$ で抑えられる減衰率に従って軌道に沿って減衰する。$a=0$ の場合でも減衰が保証される。
• 本定理は、古典的な非一様指数的分岐および非一様多項式的分岐を特別な場合として含む。
• 安定多様体は摂動に関してホルダー連続であり、$\|\phi - \bar{\phi}\|' \leq 4 \cdot 3^{q+1} C^{q+1} D \delta^q \|f - \bar{f}\|'''$ が成り立つ。
• 固定点法における収縮条件を満たすために、$\delta > 0$ を十分小さくとれば、存在結果が成立する。
• 超線形非線形性をカバーするため、$\|f_m(u) - f_m(v)\| \leq c \|u - v\|(\|u\| + \|v\|)^q$（$q > 1$）を満たす摂動が許容される。