[論文レビュー] Nonuniqueness of weak solutions of the nonlinear Schroedinger equation

Michael Christ|ArXiv.org|Mar 17, 2005

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$H^s$ 空間（$s < 0$）における1次元周期的非線形シュレーディンガー方程式に対して、立方非線形性または二次非線形性を持つ弱解の非一意性を確立する。分布に対して定義された非線形項を保証するため、$\mathbf{N}(u) = (|u|^2 - 2\mu(|u|^2))u$ という修正非線形項を導入することで、初期データが恒等的にゼロである非自明な解を $C^0([0,T], H^s)$ 内に構成し、負の正則性において弱解クラスでも一意性が成立しないことを示している。

ABSTRACT

Generalized solutions of the Cauchy problem for the one-dimensional periodic nonlinear Schrödinger equation, with certain nonlinearities, are not unique. For any $s&lt;0$ there exist nonzero generalized solutions varying continuously in the Sobolev space $H^s$, with identically vanishing initial data.

研究の動機と目的

• 標準的な適切性理論が破綻する $s < 0$ のソボレフ空間 $H^s$ における周期的非線形シュレーディンガー方程式の弱解の無条件的一意性を調査すること。
• $s < 0$ の $H^s$ 内の分布に対して、点乗積として定義されない $|u|^2u$ のような非線形項の解釈の曖昧さを解消すること。
• 非線形項の標準的解釈を構築し、修正された方程式と初期データがゼロである弱解が一貫して定義可能であるようにすること。
• この標準的解釈でさえも、$s < 0$ において解が一意でないことが示されることを示し、弱解クラスにおける非一意性を確立すること。
• 同じ負の正則性領域において、$u^2$ や $|u|^2 - \mu(|u|^2)$ のような二次非線形性を持つ方程式への非一意性結果の拡張すること。

提案手法

• $\mu(f) = (2\pi)^{-1}\int_{\mathbb{T}} f(x)\,dx$ と定義される修正非線形項 $\mathbf{N}(u) = (|u|^2 - 2\mu(|u|^2))u$ を導入し、$s < 0$ の $H^s$ 内の分布に対して非線形項が定義可能であるようにする。
• 弱解を極限過程を用いて定義する：$({\mathcal{P}}_N)$ をフーリエ切断作用素の列とするとき、$\mathbf{N}(u)$ が存在するとは、$\lim_{N\to\infty} \mathbf{N}({\mathcal{P}}_N u)$ が $\mathcal{D}'((0,1)\times\mathbb{T})$ 内で収束することを意味する。
• 修正方程式に基づく非線形反復スキームを用いて、初期データがゼロである $C^0([0,1], \ell^2_s)$ 内の近似解 $x^{(n)}$ の列を構成する。
• 適切に選んだフーリエモード $S^\dagger$ を用いた周波数局在化による議論により、高周波モード間の共鳴相互作用を生成し、初期データがゼロから非自明な解を生み出す。
• 非線形項 $\mathbf{N}(x^{(n)})$ が $C^{-1}([0,1], \ell^2_s)$ 内で収束し、解の列 $x^{(n)}$ が $C^0([0,1], \ell^2_s)$ 内で収束することを示し、極限解 $x$ が $x(t) = \int_0^t \mathbf{N}(x(s))\,ds$ を満たすことを得る。
• 物理空間に戻すために $\widehat{u}(t,n) = e^{-in^2 t} x_n(t)$ を用い、$u \in C^0([0,T], H^s)$ で $u(0,\cdot) \equiv 0$ を満たす弱解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソボレフ空間 $H^s$（$s < 0$）において、初期データがゼロである非線形シュレーディンガー方程式に対して、非自明な弱解が存在しうるか？
• RQ2 分布 $H^s$（$s < 0$）に対して $|u|^2u$ の非線形項は定義可能であるか？ もしそうならば、一貫性のある弱解理論を可能にする標準的解釈が可能か？
• RQ3 修正非線形項 $\mathbf{N}(u) = (|u|^2 - 2\mu(|u|^2))u$ の導入により、負のソボレフ空間における弱解の存在と一意性が回復可能か？
• RQ4 修正方程式において、修正非線形項が存在するにもかかわらず、$C^0([0,T], H^s)$（$s < 0$）において弱解の非一意性が示せるか？
• RQ5 同じ負の正則性領域において、$u^2$、$\bar{u}^2$、または $|u|^2 - \mu(|u|^2)$ のような二次非線形性を持つ方程式に対しても、非一意性の結果を拡張できるか？

主な発見

• $s < 0$ 任意の $s$ に対して、初期データ $u(0,\cdot) \equiv 0$ を満たす非自明な弱解 $u \in C^0([0,T], H^s)$ が、修正非線形シュレーディンガー方程式に対して存在する。
• 修正非線形項 $\mathbf{N}(u) = (|u|^2 - 2\mu(|u|^2))u$ は、フーリエ切断の極限過程を介して、$s < 0$ の $H^s$ 内の分布に対して非線形項が一意かつ標準的であることを保証する。
• 反復スキームにより構成された解は $C^0([0,1], \ell^2_s)$ 内で収束し、非線形項 $\mathbf{N}(x^{(n)})$ は $C^{-1}([0,1], \ell^2_s)$ 内で収束する。これにより、$x(t) = \int_0^t \mathbf{N}(x(s))\,ds$ を満たす極限解が得られる。
• 非一意性は、修正方程式が弱い意味で初期データに対する一様連続な依存性を持つ適切な存在理論を持つにもかかわらず生じており、一意性が好条件のもとでも失敗することを示している。
• 同様の非一意性は、$u^2$、$\bar{u}^2$、$|u|^2 - \mu(|u|^2)$ のような二次非線形性を持つ方程式に対しても、すべての $s < 0$ に対して成立する。
• この構成は、$S^\dagger$ 内の高周波モード間の共鳴周波数相互作用に依存しており、適切に調整されたモードを用いることで、初期データがゼロからでも非自明な解を生成しつつ、必要な位相空間での収束を維持している。