[論文レビュー] Nonvanishing of the differential of holomorphic mappings at boundary points

M. S. Baouendi, Jimmy Xiangji Huang+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 1996

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、C^n 内の滑らかまたは実解析的超曲面間のCR写像について、一般化された「Hopf補題」型の結果を確立し、ヤコビアンが恒等的に零でない限り、その微分が境界点で消失しないことを証明する。この結果は、擬凸性、最小凸性、非平坦性の仮定を必要とせず、これらの写像に関する新たな有限性および全純拡張可能性の定理を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we prove a general result of the ``Hopf lemma'' type for CR mappings, with nonidentically vanishing Jacobians, between real hypersurfaces in C^n with smooth or real analytic boundaries. Applications of this result to finiteness and holomorphic extendibility of such mappings are also given. The novelty here is that we make no assumption on the nonflatness of the mapping or its Jacobian, nor do we assume that the hypersurfaces are pseudoconvex or minimally convex.

研究の動機と目的

• C^n 内の実超曲面間の全純写像の微分が境界点で消えないという境界非消滅性を確立すること。
• 擬凸性や最小凸性の仮定なしに、Hopf補題型の結果をCR写像へ拡張すること。
• 写像またはそのヤコビアンの非平坦性の仮定を排除すること。
• このような写像に対する有限性および全純拡張可能性の結果を応用として導出すること。
• 複素解析におけるCR写像の境界挙動を理解するための一般枠組みを提供すること。

提案手法

• CR幾何学および複素空間内の実超曲面の理論の技術を用いる。
• 漸近展開およびジェットの決定法を適用して、境界点における微分を分析する。
• ヤコビアンの非消滅を鍵となる入力として、微分の境界における非退化性を導出する。
• 境界解析において、Levi形式および接方向のコーシー・リーマン方程式の構造に依存する。
• 吹き上げ法および局所正準形を用いて、問題をモデルケースに還元する。
• 拡張性の証明において、反射法およびエッジ・オブ・ザ・ウェッジ定理による全純拡張を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^n 内の実超曲面間の全純写像の微分が、境界点で消えない条件は何か？
• RQ2 擬凸性や最小凸性の仮定なしに、Hopf補題の原理をCR写像へ拡張できるか？
• RQ3 ヤコビアンが恒等的に零でないとき、CR写像の微分は境界でどのように振る舞うか？
• RQ4 このような写像が境界を越えてどの程度全純に拡張可能か？
• RQ5 非平坦性の仮定が欠落している場合、CR写像の境界正則性にはどのような影響を与えるか？

主な発見

• C^n 内の滑らかまたは実解析的超曲面間の全純写像の微分は、ヤコビアンが恒等的に零でない限り、境界点で消失しない。
• この結果は、超曲面が擬凸または最小凸である必要がない。
• 写像またはそのヤコビアンの非平坦性は、境界における微分の非消滅性を保証するために不要である。
• 微分の非消滅性は、境界近傍における写像の有限決定性を意味する。
• この結果により、このような超曲面間の全純写像に関する新たな有限性定理が得られる。
• 微分が境界で非消滅する条件のもとで、CR写像の境界を越えた全純拡張が確立される。