[論文レビュー] Nonzero-sum games of optimal stopping and generalised Nash equilibrium

Randall Martyr, John Moriarty|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Economic theories and models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非ゼロサム最適停止ゲーム（Dynkinゲーム）と一般化ナッシュ均衡問題（GNEP）の間で、報酬関数の微分可能性を要件としない新たな接続を確立し、閾値型および構造が複雑な均衡の新クラスを明らかにした。Markov型均衡の一意性と安定性を証明し、滑らかさの条件を緩和することで、確率的制御およびゲーム理論におけるより広範な応用を可能にした。

ABSTRACT

In the nonzero-sum setting, we establish a connection between Nash equilibria in games of optimal stopping (Dynkin games) and generalised Nash equilibrium problems (GNEP). In the Dynkin game this reveals novel equilibria of threshold type and of more complex types, and leads to novel uniqueness and stability results.

研究の動機と目的

• 非ゼロサム最適停止ゲームと一般化ナッシュ均衡問題（GNEP）の間の理論的関係を確立すること。
• Dynkinゲームにおける新たな均衡クラス、特に閾値型および構造が複雑な均衡を同定・特徴づけること。
• 報酬関数の微分可能性を仮定しないような緩い正則性条件のもとで、Markov型均衡の一意性と安定性を証明すること。
• 戦略空間が重複する（例：a ≥ b）場合を含め、従来の仮定（a < b）を超えて、閾値型均衡を一般化すること。

提案手法

• n ≥ 2人のプレイヤーを含む、決定的抽象経済モデルを用いて、2人対戦の非ゼロサムDynkinゲームとGNEPの間の関係を形式化する。
• ブラウン運動の部分過程および超調和関数を用いて、関連するMarkov過程をモデル化するため、確率解析の道具を適用する。
• 凹型上界理論およびDynkinの公式を用いて、均衡構築における停止時刻の最適性を検証する。
• 閾値型および構造が複雑なケースにおける均衡条件を分析するため、効用関数およびその偏微分の明示的表現を導出する。
• 検証定理（命題D.1およびD.2）を用いて、候補となる停止時刻が最適停止条件を満たしていることを確認する。
• 単調性仮定に依存しない反復近似スキームに基づく安定性解析を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ナッシュ均衡問題を用いて、非ゼロサム最適停止ゲームにおける新たな種類の均衡を特徴づけ、構築することは可能か？
• RQ2 報酬関数が微分不能である場合、Markov型均衡の一意性はどのような条件下で保証されるか？
• RQ3 戦略集合が非交差（a < b）である場合に限らず、重複する場合や順序のない場合に対しても、閾値型均衡を特徴づけられるか？
• RQ4 n > 2人のプレイヤーを含む関連GNEPにおいて、均衡はどのような構造的形をとり、閾値型解とはどのように異なるか？
• RQ5 均衡の安定性は反復近似スキームとどのように関係し、単調性に依存せずにこれを求められるか？

主な発見

• 戦略集合が重複する場合（a ≥ b）ですら、従来のa < bを要件としていた研究を超えて、新たな閾値型均衡を同定した。
• やや強い正則性条件のもとで、すべてのMarkov戦略のなかでのMarkov型均衡の一意性を証明した。
• 報酬関数f_i, g_i, h_iの微分可能性を要件としないため、従来の結果を超えて適用範囲を広げた。
• n > 2の場合、GNEPフレームワークにより、閾値型解よりも構造が複雑な均衡が得られ、著者らの知る限り、これまでは未だ研究されていなかった。
• 単調性を仮定しない反復近似スキームに基づく安定性結果を確立し、先行研究の収束結果を一般化した。
• 検証定理（D.1およびD.2）により、候補となる停止時刻が最適であることが確認された。これは、関連する報酬差関数の最小の非負の凹型上界に対応していることを示している。