[論文レビュー] Nonzero-sum stochastic differential games with impulse controls : a verification theorem with applications

René Aïd, Matteo Basei+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、インパルス制御を伴う非ゼロサム確率的微分ゲームの検証定理を構築し、ナッシュ均衡を特徴付ける準変分不等式（QVI）の連立系を確立する。この枠組みを、線形の走行報酬を持つ1次元インパルスゲームに適用し、ナッシュ均衡の族を明示的に解き、均衡戦略および報酬の閉形式表現を導出し、介入コストの漸近的解析および非対称ケース（立方報酬を含む）の数値解を実施する。

ABSTRACT

We consider a general nonzero-sum impulse game with two players. The main mathematical contribution of the paper is a verification theorem which provides, under some regularity conditions, a suitable system of quasi-variational inequalities for the value functions and the optimal strategies of the two players. As an application, we study an impulse game with a one-dimensional state variable, following a real-valued scaled Brownian motion, and two players with linear and symmetric running payoffs. We fully characterize a Nash equilibrium and provide explicit expressions for the optimal strategies and the value functions. We also prove some asymptotic results with respect to the intervention costs. Finally, we consider two further non-symmetric examples where a Nash equilibrium is found numerically.

研究の動機と目的

• 非ゼロサム確率的微分ゲームにインパルス制御を組み合わせた一般化された検証定理の開発。
• 正則性および成長条件の下で、ナッシュ均衡を準変分不等式（QVI）の連立系によって特徴付けること。
• 線形の走行報酬およびインパルスコストを持つ対称的1次元インパルスゲームの明示的解法。
• 介入コストに関して、均衡の漸近的挙動の分析。
• 立方報酬および線形-立方混合報酬を持つ非対称ケースへの枠組みの拡張、数値的に解くこと。

提案手法

• スケーリングされたブラウン運動によって支配される2人非ゼロサムインパルスゲームの定式化。
• プレイヤーの報酬を、割引された走行利益／損失の積分に加え、離散的インパルス報酬およびペナルティを定義し、同時に介入する場合の優先順位ルールを導入。
• 無限小生成作用素A、インパルス作用素MiおよびHi、および報酬関数Viを含む、結合されたQVIの連立系を導出。
• 検証定理の確立：ViがQVI連立系を満たし、正則性および成長条件を満たすならば、それらは均衡報酬を表す。
• 非対称線形ケースへの適用において、候補解を構築し、解析的および単調性の議論によりQVI条件の検証を実施。
• 非対称ケース（立方、混合線形-立方）に対しては、8式のQVI連立系を数値的に解き、均衡の十分条件を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人のプレイヤーが関与する非ゼロサムインパルスゲームにおいて、準変分不等式の連立系がナッシュ均衡を特徴付けるための条件は何か？
• RQ2 1次元対称インパルスゲームにおいて、線形の走行報酬を持つ場合、均衡戦略および報酬はどのような明示的形を取るか？
• RQ3 介入コストは、このようなゲームにおける均衡の構造および存在にどのように影響を与えるか？
• RQ4 立方報酬や線形-立方混合報酬といった非対称報酬構造に対しても、検証定理を適用可能か？
• RQ5 解析的解が得られない場合、得られるQVI連立系を解くために有効な数値手法は何か？

主な発見

• 対称的線形ケースではナッシュ均衡の族が存在し、プレイヤー1はX < ¯x1のときインパルスを実行し、それをx∗1に移動させ、プレイヤー2はX > ¯x2のときインパルスを実行し、それをx∗2に移動させる。
• ρ, σ, c, ˜c, λ, ˜λ, s1, s2といったモデルパラメータを用いて、¯x1, ¯x2, x∗1, x∗2および均衡報酬V1, V2の明示的表現が導出された。
• c = ˜cおよびλ = ˜λのとき、適切なナッシュ均衡は存在せず、コスト対称性における臨界閾値を示している。
• 継続領域]¯x1, ¯x2[は˜sが増加するにつれて右方へシフトし、V2(x)は˜sに関して単調減少であり、極限としてV+∞2 (x) = −∞およびV−∞2 (x) = +∞を満たす。
• 立方報酬の場合、特定のパラメータ値のもとで8式のQVI連立系の数値解により、¯x1 = −0.732, ¯x2 = 0.464, x∗1 = 0.186, x∗2 = −0.453が得られた。
• 線形-立方混合ケースでは、継続領域]¯x1, ¯x2[はs1に近づき、報酬曲率の急峻さによるプレイヤー1の高いインパルス介入インセンティブが反映されている。