[論文レビュー] Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of 1-nearly independent vertex subsets

Eric O. D. Andriantiana, Zekhaya B. Shozi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 0

ひとこと要約

この論文は 1-ほぼ独立な頂点集合の数について Nordhaus-Gaddum 型境界を導出し、厳密な下限・上限を確立するとともに、極値グラフと樹を特定する。

ABSTRACT

For a graph $G$, a vertex subset is called \emph{$1$-nearly independent} if the subgraph it induces contains exactly one edge. Let $σ_1(G)$ denote the number of such subsets in $G$. In this paper, we study Nordhaus-Gaddum type inequalities for $σ_1$, that is, bounds on the sum $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})$, where $\overline{G}$ denotes the complement of $G$. We establish that, for any $n$-vertex graph $G$, we have $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})\geq n(n-1)/2,$ with equality if and only if $G$ is either complete or edgeless. We further obtain that among all trees of order $n$, the star $K_{1,n-1}$ uniquely minimises $σ_1(T)+σ_1(\overline{T})$. Finally, we prove that for all graphs of order $n \ge 6$, \[ σ_1(G)+σ_1(\overline{G}) \le \frac{27}{64}\,2^{n} + \frac{1}{2}(n+2)(n-3), \] with equality if and only if $G$ or $\overline{G}$ is isomorphic to $3K_2 \cup \overline{K_{n-6}}$.

研究の動機と目的

• グラフの独立部分集合の自然な拡張として σ1 の研究動機づけ。
• n 点グラフに対する σ1(G)+σ1(Ḡ) の厳密な下限と上限を確立。
• これらの境界で等号を取る極値グラフと樹を特徴づけ。
• グラフ構造（完全、無辺、星、特定の和集合）に関する 1-ほぼ独立な部分集合の理解を拡張。

提案手法

• σ1(G) の既知再帰関係（補足 Lemma 1）を用い、頂点の削除と近傍による計数を分解。
• σ1(G)=|E(G)| となる良好グラフの概念を利用（命題 2）。
• 極値グラフ構成とケース解析を適用して、一般グラフと樹に対する厳密境界を導出。
• σ1 の既知の極値結果（定理 1）を用いて σ1(G)+σ1(Ḡ) の境界を情報づけ。
• 等号成立の構造的形として完全グラフ、星、3K2 と補グラフを含む和集合などを特徴づけ。
• 特定の極大構成（例：3K2∪Ḱn−6）について明示的な式を提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての n-頂点グラフ G に対して σ1(G)+σ1(Ḡ) の厳密な下限と上限は何か。
• RQ2 これらの境界を達成する極値グラフ（グラフ族）はどれで、どの条件下で達成されるか。
• RQ3 σ1(T)+σ1(Ḋ) の樹における極値構造は何で、和を最小化する樹はどれか。
• RQ4 補グラフ演算の下で σ1 の振る舞いはどうか、既知の極値 σ1 の結果は σ1(G)+σ1(Ḡ) の境界をどう情報づけるか。
• RQ5 最大和を与える明示的な極値グラフは、3K2∪Ḱn−6 などの既知候補を超えて特徴づけられるか。

主な発見

• 任意の n-頂点 G に対して σ1(G)+σ1(Ḡ) ≥ n(n−1)/2 となり、等号は G が K_n または Ḱn のときに成立する。
• 次数 n の樹の中で、星型 K1,n−1 が唯一 σ1(T)+σ1(Ḋ) を最小化する。
• n ≥ 6 のとき、σ1(G)+σ1(Ḡ) ≤ (27/64)·2^n + (1/2)(n+2)(n−3) となり、等号成立は G または Ḡ ≅ 3K2 ∪ Ḱn−6 のとき。
• 極値構成には σ1(3K2∪Ḱn−6)+σ1(Ḡ) が上限と一致し、K_n や K_{n−6}∨G_{6,4} のような関連形式が境界を達成。
• 最大の場合は以前に知られていたσ1の極値と一致し、補グラフも和を最大化する同じ構成であることを確認。
• 本論は 6 ≤ n ≤ 9 の SageMath を用いた検証と、n ≥ 10 の場合の詳しい帰納的証明を提供。