[論文レビュー] Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs

Hong Chang, Zhong Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフの衝撃的接続数（cfc）に関するノルダウス＝ガッダム型定理を確立し、任意の連結グラフ $G$ 及びその補グラフ $¯{G}$ に対して、和 $cfc(G) + cfc(¯{G})$ が $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$ を満たし、積が $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$ を満たすことを証明している。これらの境界は鋭く、等号が成り立つのは、$G$ もしくは $¯{G}$ が最大次数 $n-2$ の木であるか、$P_5$ に同型である場合に限る。本研究は、極値のcfc値をとるグラフの構造を同定し、補グラフにおけるcfc数の和および積のタイトな境界を提供する。

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is \emph{conflict-free connected} if, between each pair of distinct vertices, there exists a path containing a color used on exactly one of its edges. The \emph{conflict-free connection number} of a connected graph $G$, denoted by $cfc(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ conflict-free connected. In this paper, we determine all trees $T$ of order $n$ for which $cfc(T)=n-t$, where $t\geq 1$ and $n\geq 2t+2 $. Then we prove that $1\leq cfc(G)\leq n-1$ for a connected graph $G$, and characterize the graphs $G$ with $cfc(G)=1,n-4,n-3,n-2,n-1$, respectively. Finally, we get the Nordhaus-Gaddum-type theorem for the conflict-free connection number of graphs, and prove that if $G$ and $\overline{G}$ are connected, then $4\leq cfc(G)+cfc(\overline{G})\leq n$ and $4\leq cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})\leq2(n-2)$, and moreover, $cfc(G)+cfc(\overline{G})=n$ or $cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})=2(n-2)$ if and only if one of $G$ and $\overline{G}$ is a tree with maximum degree $n-2$ or a $P_5$, and the lower bounds are sharp.

研究の動機と目的

• 順序 $n$ の木 $T$ で $cfc(T) = n - t$ を満たすもの（$t \geq 1$ かつ $n \geq 2t + 2$）の構造を特定すること。
• すべての連結グラフ $G$ で $cfc(G) = 1, n-4, n-3, n-2, n-1$ を満たすものについての特徴付けを行うこと。
• 補グラフにおける衝撃的接続数のタイトなノルダウス＝ガッダム型不等式を確立すること。

提案手法

• エッジ彩色のパターンと頂点次数の分析により、$cfc(T) = n - t$ を満たす木の特徴付けを行う。
• 極値のエッジ彩色の議論を用いて、任意の連結グラフ $G$ に対して $1 \leq cfc(G) \leq n-1$ を証明する。
• カットエッジおよび $2$ エッジ連結部分グラフの性質を用いた構造的グラフ理論的手法により、$cfc(G)$ の境界を求める。
• 補題 5.5 を適用し、$\lambda(G) = \lambda(\u00af{G}) = 1$ の場合に $G$ もしくは $\u00af{G}$ の少なくとも一方が $cfc = 2$ を満たすことを示し、和および積の境界を導く。
• 最大次数 $n-2$ のグラフおよび $P_5$ を分析することで等号成立条件を確立し、スパニング部分グラフおよび成分分解の技術を用いる。
• 命題 2.11 および補題 2.6 を用いて、既知のcfc値をもつスパニング部分グラフを通じて $cfc(G)$ を境界づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序 $n$ の木 $T$ で $t \geq 1$ かつ $n \geq 2t + 2$ のとき、$cfc(T) = n - t$ が成り立つのはどのような場合か？
• RQ2 連結グラフで $cfc(G) = 1$, $n-4$, $n-3$, $n-2$, $n-1$ を満たすものの正確な特徴付けは何か？
• RQ3 $G$ および $¯{G}$ がともに連結であるとき、$cfc(G) + cfc(¯{G})$ および $cfc(G) \cdot cfc(¯{G})$ の最もタイトな上界および下界は何か？
• RQ4 補グラフにおいて $cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$ あるいは $cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) = 2(n-2)$ が成り立つのはいつか？

主な発見

• 任意の連結グラフ $G$ の衝撃的接続数は $1 \leq cfc(G) \leq n-1$ を満たし、上界に等号が成り立つのは $G$ がスターモデルまたは完全グラフである場合に限る。
• グラフで $cfc(G) = 1$ であるのはちょうどスターモデル $K_{1,n-1}$ であり、$cfc(G) = n-1$ であるのは完全グラフ $K_n$ である。
• 任意の連結グラフ $G$ 及びその補グラフ $¯{G}$ に対して、和 $cfc(G) + cfc(¯{G})$ は $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$ を満たし、積は $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$ を満たす。
• 和 $cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$ が成り立つのは、$G$ もしくは $¯{G}$ が最大次数 $n-2$ の木であるか、$P_5$ に同型である場合に限る。積についても同様の条件が成り立つ。
• 和および積の下界 $4$ は鋭く、それぞれの $G$ および $¯{G}$ が最大次数の頂点に高々2本のカットエッジが接続されている場合に達成される。
• $cfc(G) = n-2$ を満たすグラフの特徴付けにより、このようなグラフは最大次数 $n-2$ の木または特定の小さなグラフ（$K_{1,3}+e$, $K_{2,2}$, $K_{2,2}+e$, $P_5$）であることが判明するが、補グラフが連結となるのは木の場合に限る。