[論文レビュー] Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph

Lily Chen, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、グラフとその補グラフのランダムバーテックス接続数（rvc）に関するノルダウス＝ガッダム型不等式を確立する。任意の連結グラフ $ G $ 及びその補グラフ $ \overline{G} $ について、$ n \geq 5 $ 頂点を持つとき、和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ は $ 2 \leq rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $ を満たし、両端の境界はすべての $ n \geq 5 $ に対してタイトである。

ABSTRACT

A vertex-colored graph $G$ is rainbow vertex-connected if any pair of distinct vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of $G$, denoted by $rvc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ rainbow vertex-connected. In this paper we give a Nordhaus-Gaddum-type result of the rainbow vertex-connection number. We prove that when $G$ and $\bar{G}$ are both connected, then $2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$. Examples are given to show that both the upper bound and the lower bound are best possible for all $n\geq 5$.

研究の動機と目的

• グラフとその補グラフのランダムバーテックス接続数の和に対するタイトな境界を確立すること。
• 彩色数およびランダム接続数におけるノルダウス＝ガッダム型結果を、ランダムバーテックス接続数へと拡張すること。
• すべての $ n \geq 5 $ に対して、$ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ の下限および上限が最良であることを証明すること。

提案手法

• 頂点数 $ n $ に関する帰納法を用い、新しい頂点をグラフに追加し、ランダムバーテックス接続数に与える影響を分析することで、上界 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $ を証明する。
• Lemma 1 を活用し、$ G $ の少なくとも $ n - rvc(G) $ 個の頂点に接続する頂点を追加しても、ランダムバーテックス接続数が増加しないことを示す。
• すべての可能な連結グラフとその補グラフを全検索することで、$ n = 5 $ の基本ケースを確立する。
• $ G $ と $ \overline{G} $ がともに直径 2 を持つような明示的なグラフ族を構成し、$ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ を達成することで、下界がタイトであることを証明する。
• ランダムバーテックス接続数 $ rvc(G) = 1 $ であるのは $ \text{diam}(G) = 2 $ のときであり、$ rvc(G) = 0 $ は完全グラフにしか成り立たないという事実を活用し、極値例の構成を導く。
• 極値性を検証するため、パスグラフ $ P_n $ について $ rvc(P_n) = n-2 $ かつ $ rvc(\overline{P_n}) = 1 $ であることを示し、和が $ n-1 $ に達することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両方のグラフ $ G $ と $ \overline{G} $ が連結で $ n \geq 5 $ のとき、和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ の最良の上界は何か？
• RQ2 同じ条件下で、$ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ の最良の下界は何か？
• RQ3 両方の境界がすべての $ n \geq 5 $ に対して同時に達成可能か？
• RQ4 両方のグラフが直径 2 を持つようなグラフの構成はあるか？ その場合 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ となる。
• RQ5 新しい頂点の追加が、グラフとその補グラフのランダムバーテックス接続数にどのように影響するか？

主な発見

• すべての連結グラフ $ G $ 及び $ \overline{G} $ について、$ n \geq 5 $ のとき、和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ は $ n-1 $ で上界に抑えられ、この境界はタイトである。
• 和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ は 2 で下界に抑えられ、$ n \geq 5 $ のすべてのケースでこの境界もタイトである。
• $ n \geq 5 $ のとき、$ rvc(G) = n-2 $ かつ $ rvc(\overline{G}) = 1 $ を満たすグラフ $ G $ が存在し、パスグラフ $ P_n $ 及びその補グラフにおいて上界 $ n-1 $ が達成される。
• $ n \geq 5 $ のとき、$ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ を満たすグラフ $ G $ が存在し、両方のグラフが直径 2 を持つ場合に達成され、下界が最良であることが証明される。
• 上界は帰納法と、頂点を少なくとも $ n - rvc(G) $ 個の頂点に接続することでランダムバーテックス接続数を保存するという重要な補題を用いて証明される。
• 下界は、中心頂点が2つの互いに素なクリークに接続されたグラフを構成することで達成され、直径 2 を保証し、結果として $ G $ と $ \overline{G} $ ともに $ rvc = 1 $ となる。