[論文レビュー] Norm-inflation for periodic NLS equations in negative Sobolev spaces

Rémi Carles, Thomas Kappeler|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、トーラス T^d 上の周期的非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、奇数次非線形性をもつ場合の強い不適切性を確立している。負のソボレフ空間におけるノルムインフレーションを示すことで、小さな H^s ノルム（s < 0）を持つ C^∞ 初期データに対しても、有限時間で解のノルムが発散することを示している。主な結果は、σd ≥ 2（または正規化された場合の d ≥ 2）かつ s < 0 のとき、H^s ノルムが無限大に達することであり、初期データノルムがゼロに近づく中でも成立する。

ABSTRACT

In this paper we consider Schr{\"o}dinger equations with nonlinearities of odd order 2$\sigma$ + 1 on T^d. We prove that for $\sigma$d$\ge$2, they are strongly illposed in the Sobolev space H^s for any s extless{} 0, exhibiting norm-inflation with infinite loss of regularity. In the case of the one-dimensional cubic nonlinear Schr{\"o}dinger equation and its renormalized version we prove such a result for H^s with s extless{} --2/3.

研究の動機と目的

• トーラス T^d 上の周期的 NLS 方程式に対して、奇数次の非線形性 2σ+1 をもつ場合の強い不適切性を確立すること。
• s < 0 の H^s において、無限の正則性喪失を伴うノルムインフレーションを示し、任意に小さな初期データから解が無限に成長することを示すこと。
• 標準的および正規化された立方 NLS 方程式（σ=1, d=1）の両方のケースに分析を拡張し、s < -2/3 の範囲でノルムインフレーションを証明すること。
• 正規化されたバージョンが、ノルムインフレーションの挙動において標準 NLS よりも正則性や安定性が向上することはないことを示すこと。

提案手法

• 小さなパラメータ ε を用いた弱非線形的幾何的光学スケーリングを用い、元の NLS を漸近解析に適した形に変換すること。
• 平面波の重ね合わせとして一次近似解を構成する：u_ε^app(t,x) = Σ_j a_j(t) e^{iφ_j(t,x)/ε}、ここで φ_j(t,x) = j·x - |j|²t/2。
• 波動ベクトルおよび周波数の保存則に基づき、非線形相互作用における共鳴集合 Res_j を用いて、振幅 a_j(t) の ODE システムを導出すること。
• 非ゼロモード間の共鳴相互作用によりゼロモード（a_0）を励起する初期データを特定し、解のノルムの増大を引き起こすこと。
• スケーリング β < 0 を用いて、ε における近似解と元の解 ψ の関係を定義し、ゼロモード振幅が ε → 0 のとき ε^{-β/(2σ)} の割合で増大することを示すこと。
• ウィーナ代数およびソボレフ型ノルムを用いて、真の解と近似解との誤差を推定し、近似解のノルムに比べて誤差が無視可能であることを示し、インフレーションが解そのものに起因することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次非線形性をもつ周期的 NLS 方程式について、負のソボレフ空間におけるノルムインフレーションと無限の正則性喪失を示すことができるか？
• RQ2 標準的および正規化された NLS 方程式において、H^s(T^d) でノルムインフレーションが発生する s < 0 の鋭い閾値は何か？
• RQ3 正規化された立方 NLS 方程式は、ノルムインフレーションの観点から標準 NLS よりも優れた正則性や安定性を示すか？
• RQ4 スケーリングパラメータ β は、解のノルムの増大および H^s における初期データのゼロへの収束にどのように影響するか？

主な発見

• σd ≥ 2（または正規化された場合の d ≥ 2）のとき、すべての s < 0 に対して H^s(T^d) でノルムインフレーションが発生する。これは、初期データノルムがゼロに近づく中でも、解の H^s ノルムが無限大に達することを意味する。
• 1次元の立方 NLS ケース（σ = d = 1）では、すべての s < -2/3 でノルムインフレーションが発生し、これがこの場合の鋭い閾値である。
• 適切なスケーリングのもとでゼロモード振幅 a_0(t) は ε^{-β/(2σ)} の割合で増大する。s < 0 のとき |a_0| は H^s ノルムの下界を定めるため、任意の FL^{r,p} ノルムにおいても無限大に発散する。
• 真の解と近似解との誤差は制御可能であり、近似解のノルムに比べて無視可能であることが示され、インフレーションが解そのものに起因することを保証する。
• 正規化された NLS 方程式（1.2）は、標準 NLS（1.1）と同一のノルムインフレーション挙動を示すため、この領域では正則性や安定性に改善がないことが示された。
• 非ゼロモードの共鳴相互作用によりゼロモードが生成され、初期導関数 ȧ_0(0) ≠ 0 が非ゼロで成立する。これは、σ および d に対する指定された条件下でのみ可能である。