[論文レビュー] Normal and Anomalous Diffusion: A Tutorial

L. Vlahos, H. Isliker+2 more|ArXiv.org|May 5, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 101

ひとこと要約

このチュートリアルは、古典的ランダムウォークモデルからフィックの法則、ランジュバン方程式、フォッカー・プランク方程式を経由して拡散方程式へとつながる、正規拡散および異常拡散の包括的概要を提供する。連続時間ランダムウォーク（CTRW）を異常拡散のフレームワークとして導入し、CTRWから分数拡散方程式を導出し、プラズマ物理学および天体物理学への応用を示し、非マルコフ的で重い尾を持つ分布が、準拡散および超拡散行動を説明することを示している。

ABSTRACT

The purpose of this tutorial is to introduce the main concepts behind normal and anomalous diffusion. Starting from simple, but well known experiments, a series of mathematical modeling tools are introduced, and the relation between them is made clear. First, we show how Brownian motion can be understood in terms of a simple random walk model. Normal diffusion is then treated (i) through formalizing the random walk model and deriving a classical diffusion equation, (ii) by using Fick's law that leads again to the same diffusion equation, and (iii) by using a stochastic differential equation for the particle dynamics (the Langevin equation), which allows to determine the mean square displacement of particles. (iv) We discuss normal diffusion from the point of view of probability theory, applying the Central Limit Theorem to the random walk problem, and (v) we introduce the more general Fokker-Planck equation for diffusion that includes also advection. We turn then to anomalous diffusion, discussing first its formal characteristics, and proceeding to Continuous Time Random Walk (CTRW) as a model for anomalous diffusion. It is shown how CTRW can be treated formally, the importance of probability distributions of the Levy type is explained, and we discuss the relation of CTRW to fractional diffusion equations and show how the latter can be derived from the CTRW equations. Last, we demonstrate how a general diffusion equation can be derived for Hamiltonian systems, and we conclude this tutorial with a few recent applications of the above theories in laboratory and astrophysical plasmas.

研究の動機と目的

• 物理学および応用科学の分野の研究者に対して、正規拡散および異常拡散の数学的基盤を統合的かつアクセス可能な形で紹介すること。
• 正規拡散を記述するための主要なモデル手法—ランダムウォーク、フィックの法則、ランジュバン方程式、フォッカー・プランク方程式、中心極限定理—の間の関係を明確にすること。
• 連続時間ランダムウォーク（CTRW）を用いて正規拡散の枠組みを拡張し、レヴィ安定分布が非ガウス的で非マルコフ的プロセスにおいて果たす役割を強調すること。
• CTRWから分数拡散方程式を導出し、長距離記憶性や重い尾を持つ待ち時間を持つ系におけるその関連性を示すこと。
• 実験的および天体物理学的プラズマにおける応用を図示すること。具体的には、乱流輸送および非熱的粒子加速を含む。

提案手法

• ステップ長 ℓ と左右への等確率を持つ対称的1次元ランダムウォークを用いて正規拡散をモデル化し、平均二乗変位 ⟨z²⟩ = Nℓ² を導出する。
• 中心極限定理とフォッカー・プランク方程式（移流項と拡散項を含む）を用いて、ランダムウォークモデルから古典的拡散方程式を導出する。
• 確率的力を持つランジュバン方程式を用いて粒子の運動を記述し、平均二乗変位の直接計算を可能にする。
• 待ち時間とジャンプ長が任意の確率分布（レヴィ安定分布を含む）に従う一般化されたランダムウォークとしてCTRWを導入する。
• 待ち時間またはジャンプ長がパワー則分布に従う場合、CTRWの連続極限を取ることで、時間的または空間的分数導関数を含む分数拡散方程式を導出する。
• ハミルトニアン系に拡張されたCTRWモデルを適用し、乱流的で非平衡な系における輸送を記述する準線形拡散方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動はどのように対称的ランダムウォークを用いて形式的にモデル化可能であり、その結果得られる平均二乗変位は何か？
• RQ2 正規拡散を記述する際、フィックの法則、ランジュバン方程式、フォッカー・プランク方程式の間の数学的関係は何か？
• RQ3 異常拡散の特徴的な性質は何か？平均二乗変位のスケーリングに関して、正規拡散とどのように異なるか？
• RQ4 連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルはどのように正規拡散を一般化するのか？また、レヴィ安定分布は異常行動の生成に果たす役割は何か？
• RQ5 分数拡散方程式はどのようにCTRWから導出可能か？また、長距離記憶性や重い尾を持つ待ち時間を持つ物理系において、なぜ古典的拡散より優れた記述を提供するのか？

主な発見

• 正規拡散は、平均二乗変位が時間に対して線形にスケーリングすることによって特徴づけられる：⟨Δx²⟩ ∝ t。これは中心極限定理とガウス分布に従う増分に起因する。
• ホワイトノイズを伴うランジュバン方程式も同様に ⟨Δx²⟩ ∝ t の結果をもたらし、確率的微分方程式とランダムウォークの枠組みの整合性を確認する。
• 異常拡散は非線形スケーリング ⟨Δx²⟩ ∝ t^γ を示し、γ < 1（準拡散）または γ > 1（超拡散）となる。これはしばしば長時間の待ち時間やレヴィフライトに関連する。
• CTRWモデルは、待ち時間とジャンプ長に重い尾を持つ分布を許容することで異常拡散を説明する。レヴィ安定分布はパワー則尾を持つ変位を生じさせる。
• 待ち時間またはジャンプがパワー則分布に従う場合、CTRWの連続極限として分数拡散方程式が出現し、時間分数導関数は記憶効果をモデル化する。
• 天体物理学的および実験的プラズマにおいて、CTRWは非熱的粒子分布および「勾配に逆らった」輸送（「アップヒル」輸送）を効果的にモデル化する。これはフォッカー・プランク方程式では捉えきれない現象である。