[論文レビュー] Normal class and normal lines of algebraic hypersurfaces

Alfrederic Josse, Françoise Pène|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素化された射影空間 $\mathbb{P}^n$ 内の代数的超曲面の正規類を、一般点を通る正規線の本数として定義する。正規極線とシューベルト計算を用いて、滑らかな超曲面の正規類に対する一般式を導出する：$ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $。次数と次元の明示的値を提示し、交点多重度を用いて特異曲面へ拡張する。

ABSTRACT

We are interested in the normal class of an algebraic hypersurface Z of the complex projective space P^n, that is the number of normal lines to Z passing through a generic point of P^n. Thanks to the notion of normal polar, we state a formula for the normal class valid for a general hypersurface Z of P^n. We give a generic result and we illustrate our formula with examples in P^n. We define the orthogonal indidence variety and compute the Schubert class of the variety of projective normal lines to a surface of P^3 in the Show ring of G(1,3). We complete our work with a generalization of Salmon's formula for the normal class of a Plucker curve to any planar curve with any kind of singularity.

研究の動機と目的

• 複素化された射影空間 $\mathbb{P}^n$ 内の代数的超曲面 $\mathcal{Z}$ の正規類を定義し、計算すること、すなわち一般点を通る正規線の本数を求める。
• プラッカー曲線のサマーオンの公式を、任意の特異点を持つ平面曲線へ一般化すること。
• グラスマン多様体 $\mathbb{G}(1,n)$ 内の直交接続多様体とシューベルト計算を用いて、射影的正規線の幾何を研究すること。
• 孤立特異点をもつ超曲面の正規類に対する公式を確立すること。この際、基本点と交点多重度を考慮する。

提案手法

• 正規極線 $\mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}$ を、点 $m$ が正規線 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$ 上に $A$ を含むときの点の集合として定義する。
• 写像 $\alpha_{\mathcal{Z}}: \mathbb{P}^n \setminus \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \to \mathbb{P}^{\frac{n(n+1)}{2}-1}$ を、$m$ をその正規線 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$ に送る正則写像として定義する。
• 基本集合 $\mathcal{B}_{\mathcal{Z}} = \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \cap \mathcal{Z}$ を、特異点、$\mathcal{H}^\infty$ との接点、および $\mathcal{Z}_\infty$ と無限遠のウミリック $\mathcal{U}_\infty$ の接点の和集合として特徴付ける。
• グラスマン多様体 $\mathbb{G}(1,n)$ 内のシューベルト計算を用いて、正規線の集合のシューベルト類 $\mathfrak{n}_{\mathcal{Z}}$ を計算する。
• 交線論を適用し、一般な $A$ に対して正規類を $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $ として計算する。
• ベクトル空間 $\mathbf{V} = (\mathbf{E}_n \oplus \mathbb{R}) \otimes \mathbb{C}$ 上の双一次形式を用いて、射影的直交性を確立し、$\mathbb{P}^n$ 内の直線と超平面の直交性を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな超曲面 $\mathcal{Z} \subset \mathbb{P}^n$ に対して、一般点を通る正規線の本数はいかほどか？
• RQ2 $\mathcal{Z}$ が孤立特異点をもつ、または無限遠超平面と接する場合、正規類はどのように変化するか？
• RQ3 プラッカー曲線の正規類に関するサマーオンの公式は、特異点をもつ平面曲線へ一般化可能か？
• RQ4 $\mathbb{P}^3$ 内の曲面に対して、射影的正規線の集合のシューベルト類は何か？
• RQ5 $PGL(n,\mathbb{C})$ に対して不変でないことは、正規線の研究を接超平面の研究と比較して、どのように影響を及ぼすか？

主な発見

• 滑らかな超曲面 $\mathcal{Z} \subset \mathbb{P}^n$ が $d_{\mathcal{Z}} \geq 2$ の次数を持ち、$\mathcal{H}^\infty$ と接しないこと、かつ無限遠で横断的接点を持つ場合、正規類は $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $ である。
• 二次曲面（$d_{\mathcal{Z}} = 2$）に対しては正規類は $c_{\nu}(\mathcal{Z}) = n$ であり、$n=2$ のときは $d_{\mathcal{Z}}$ に等しい。
• $\mathbb{P}^3$ では正規類は $d_{\mathcal{Z}}^3 - d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$ であり、$\mathbb{P}^4$ では $d_{\mathcal{Z}}^4 - 2d_{\mathcal{Z}}^3 + 2d_{\mathcal{Z}}^2$ である。
• $n=5$ の場合、正規類は $d_{\mathcal{Z}}^5 - 3d_{\mathcal{Z}}^4 + 4d_{\mathcal{Z}}^3 - 2d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$ である。
• 超平面 $\mathcal{H} \subset \mathbb{P}^n$（$\mathcal{H}^\infty$ を除く）の正規類は $c_{\nu}(\mathcal{H}) = 1$ である。
• 孤立特異点をもつ超曲面の正規類の一般式には補正項が含まれる：$ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $、ここで $i_P$ は基本点における交点多重度を表す。