[論文レビュー] Normal form approach to the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation in almost critical Fourier-Lebesgue spaces

Tadahiro Oh, Yuzhao Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$1 \leq p < \infty$ に対してほぼ臨界的フーリエ＝レーベス空間 $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ における1次元周期的立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、正規形還元のアプローチを開発する。繰り返し正規形還元を適用することで、再正規化されたNLSよりも優れた正則性性質を示す変換された方程式が得られ、$1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で未条件の大域的良設定性と一意性が証明され、$L^2$-臨界的領域を超えて良設定性が拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we study the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation (NLS) on the circle. In particular, we develop a normal form approach to study NLS in almost critical Fourier-Lebesgue spaces. By applying an infinite iteration of normal form reductions introduced by the first author with Z. Guo and S. Kwon (2013), we derive a normal form equation which is equivalent to the renormalized cubic NLS for regular solutions. For rough functions, the normal form equation behaves better than the renormalized cubic NLS, thus providing a further renormalization of the cubic NLS. We then prove that this normal form equation is unconditionally globally well-posed in the Fourier-Lebesgue spaces $\mathcal{F} L^p(\mathbb{T})$, $1 \leq p &lt; \infty$. By inverting the transformation, we conclude global well-posedness of the renormalized cubic NLS in almost critical Fourier-Lebesgue spaces in a suitable sense. This approach also allows us to prove unconditional uniqueness of the (renormalized) cubic NLS in $\mathcal{F} L^p(\mathbb{T})$ for $1\leq p \leq \frac32$.

研究の動機と目的

• $p > 2$ の場合に古典的意味で悪設定であると知られているフーリエ＝レーベス空間 $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ における立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の悪設定性に対処すること。
• 粗い初期データに対して方程式の正則性挙動を改善するため、無限回の正規形反復を用いた洗練された再正規化技術を開発すること。
• 再正規化された立方NLSが $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で $1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において未条件の大域的良設定性と一意性を確立すること。$L^2$-臨界的領域を超えて拡張すること。
• 正規形方程式が粗い関数に対して再正規化されたNLSよりも良好に振る舞うことを示し、より強い大域的制御が可能になること。

提案手法

• 元々Oh, Guo, and Kwon（2013）によって導入された無限回の正規形還元を、トーラス上の再正規化された立方NLSに適用すること。
• 正則な解に対して再正規化されたNLSと同値であるが、$\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ の粗い初期データに対しては改善された挙動を示す変換された正規形方程式を導出すること。
• フーリエ制限ノルム法と $\ell^p$-に基づく時空間ノルムを用いて、正規形方程式内の非線形相互作用を制御すること。
• 事前推定と正則性の保存に関する議論を用いて、時間にわたる $\mathcal{F}L^p$-ノルムの有界性を確立すること。
• 正規形変換を逆転させることで、$1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において、元の再正規化されたNLSが $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で未条件の大域的良設定性と一意性を導くこと。
• $L^2$-保存則と繰り返し局所的良設定性の議論を用いて、局所解を多項式的時間成長の境界を伴って大域的解に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的意味で悪設定であると知られている $p > 2$ の場合のフーリエ＝レーベス空間 $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ における1次元周期的立方NLSに対して、正規形アプローチを用いて大域的良設定性を達成できるか？
• RQ2 粗い初期データ $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ に対して、正規形変換が再正規化されたNLSに比べて解写像の正則性性質を改善するか？
• RQ3 再正規化された立方NLSが $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で $1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において未条件の大域的良設定性と一意性を達成できるか？$L^2$-臨界的領域を超えて可能か？
• RQ4 正規形定式化における解の $\mathcal{F}L^p$-ノルムの定量的時間的挙動は何か？大域的に制御可能か？

主な発見

• 無限回の正規形反復によって得られる正規形方程式は、すべての $1 \leq p < \infty$ に対して $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で大域的良設定であり、解は未条件の大域的制御を示す。
• 再正規化された立方NLSが $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で $1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において未条件の大域的良設定性が確立され、$L^2$-臨界的領域を超えて拡張される。
• 正規形方程式は粗い関数に対して再正規化されたNLSよりも良好に振る舞い、正則性をさらに改善する追加の再正規化を提供し、より強い推定が可能になる。
• 解の $\mathcal{F}L^p$-ノルムに対する事前推定の成長境界が得られ、$1 \leq p < 2$ の場合、特に $\sup_{t \in [0,\tau]} \|u(t)\|_{\mathcal{F}L^p} \leq C^{(1 + \|u_0\|_{L^2})^{\theta} \tau} \|u_0\|_{\mathcal{F}L^p}$ と、時間に対して多項式的成長に抑えられる。
• $\mathcal{F}L^p(\mathbb{T})$ で $1 \leq p \leq \frac{3}{2}$ において、(再正規化された) 立方NLSの解の一意性が未条件で証明され、事前に正則性仮定を要しない。
• この手法により、$p > 2$ の場合に元の立方NLSが悪設定であることを、繰り返し正規形還元による反復的変換によってより正則な形に変換することで、克服できた。