[論文レビュー] Normal forms and invariants for 2-dimensional almost-Riemannian structures

Ugo Boscain, G. Charlot+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 31被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、2次元のほぼリーマン構造における3つの一般点型—リーマン型、グルーシュイン型、接点型—に対して、完全で正規化された標準形および関数的不変量を確立する。分布に横断する滑らかで一意にパラメータ化された曲線（曲率の等高線、頂点、谷底、または特異集合）を構築することで、座標やフレームに依存しない完全に簡約化された標準形を達成し、局所等長同型類を一意に特定する。これは、長年の問題である、座標やフレームに依存しない完全な不変量の特定を解決する。

ABSTRACT

Two-dimensional almost-Riemannian structures are generalized Riemannian structures on surfaces for which a local orthonormal frame is given by a Lie bracket generating pair of vector fields that can become collinear. Generically, there are three types of points: Riemannian points where the two vector fields are linearly independent, Grushin points where the two vector fields are collinear but their Lie bracket is not, and tangency points where the two vector fields and their Lie bracket are collinear and the missing direction is obtained with one more bracket. In this paper we consider the problem of finding normal forms and functional invariants at each type of point. We also require that functional invariants are "complete" in the sense that they permit to recognize locally isometric structures. The problem happens to be equivalent to the one of finding a smooth canonical parameterized curve passing through the point and being transversal to the distribution. For Riemannian points such that the gradient of the Gaussian curvature $K$ is different from zero, we use the level set of $K$ as support of the parameterized curve. For Riemannian points such that the gradient of the curvature vanishes (and under additional generic conditions), we use a curve which is found by looking for crests and valleys of the curvature. For Grushin points we use the set where the vector fields are parallel. Tangency points are the most complicated to deal with. The cut locus from the tangency point is not a good candidate as canonical parameterized curve since it is known to be non-smooth. Thus, we analyse the cut locus from the singular set and we prove that it is not smooth either. A good candidate appears to be a curve which is found by looking for crests and valleys of the Gaussian curvature. We prove that the support of such a curve is uniquely determined and has a canonical parametrization.

研究の動機と目的

• 局所座標やフレームの選択に依存しない、2次元のほぼリーマン構造（2-ARS）の完全で正規化された標準形を求める問題を解決すること。
• 構造に内在する関数的不変量を特定し、それらが局所等長同型な2-ARSを分類するのに十分であることを示すこと。
• 各点型に対して、標準的なサポートとして機能する滑らかで一意にパラメータ化された曲線を構築し、等長変換のもとで不変であることを保証すること。
• 標準的な候補（例：カットリーマン）が滑らかでないために失敗する最も複雑なケース、すなわち接点型に標準形の理論を拡張すること。
• すべての点型にわたって曲率に基づく特徴（頂点、谷底）を統一的に扱い、標準的パラメータ化を定義すること。

提案手法

• 曲率勾配が非ゼロのリーマン点では、ガウス曲率 K の等高線を標準的曲線のサポートとして用いる。
• 曲率勾配がゼロのリーマン点では、曲率関数の頂点と谷底を特定することで曲線を構築する。
• グルーシュイン点では、2つのベクトル場が平行になる集合を標準的曲線のサポートとして用いる。
• 接点型では、曲率の頂点と谷底から得られる標準的曲線を導出し、それが一意に定まり、滑らかにパラメータ化可能であることを証明する。
• フレーム成分の2階微分に対する正規化条件を用いてパラメータ化を固定し、向きの違いを除いて一意性を保証する。
• 選択した曲線に依存する手順により、標準的正規直交フレームを構築し、その成分が関数的不変量となる標準形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、局所座標やフレームの選択に依存しない完全に簡約化された標準形を2-ARSに対して構築できるか？
• RQ2 リーマン型、グルーシュイン型、接点型の3つの一般点型の各点において、標準的曲線として機能するものは何か？
• RQ3 標準的候補（例：カットリーマン）が接点型においてなぜ不適切なのか？滑らかさと一意性を保証する代替的曲線構造は何か？
• RQ4 どのようにして、曲率に基づく特徴（頂点と谷底）を用いて接点型における標準的パラメータ化を定義できるか？
• RQ5 結果として得られる標準形の成分が、局所等長同型な2-ARSを区別できる完全な不変量であるための条件は何か？

主な発見

• 接点型において、曲率の頂点と谷底を用いて滑らかで一意に定まる（向きの違いを除いて）標準的曲線が構築され、それが証明されている。
• 接点型における標準形は完全に簡約化されている：正規直交フレームと座標は構造によって一意に固定され、フレーム成分の2階微分が ±2 に正規化されている。
• 曲率勾配が非ゼロのリーマン点では、K の等高線が標準的曲線として機能し、標準形は K 及びその微分にのみ依存する。
• 曲率勾配がゼロのリーマン点では、曲率の極値線を用いて標準的曲線が導出され、不変性と完全性が保証される。
• 関数的不変量（標準座標における正規直交フレームの成分）は完全である：2つの2-ARSが局所等長同型であるための必要十分条件は、それらの不変量が一致することである。
• 接点型におけるカットリーマンの滑らかでない問題を解決するため、特異集合からのカットリーマンも滑らかでないことを示し、曲率に基づく曲線が優れた代替候補であることを裏付けた。