[論文レビュー] Normal forms and linearization of holomorphic dilation type semigroups in several variables

Filippo Bracci, Mark Elin+1 more|ArXiv.org|Dec 24, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多変数複素関数におけるホロモルフィック拡張型半群の線形化のための条件を、多変数シュレーディンガー関数方程式の可解性と生成子のヤコビアン固有値における共鳴条件の役割を分析することによって確立する。主たる貢献は剛性結果である：ある正の時刻における半群の要素が線形（または線形分数的）であり、かつ生成子の固有値が共鳴を示さない、あるいは非退化条件を満たしているならば、半群のすべての要素が線形（または線形分数的）であることが保証される。これは古典的な1次元線形化理論を高次元に拡張し、明確なスペクトル的基準を提示する。

ABSTRACT

In this paper we study commuting families of holomorphic mappings in $\mathbb{C}^n$ which form abelian semigroups with respect to their real parameter. Linearization models for holomorphic mappings are been used in the spirit of Schröder's classical functional equation.

研究の動機と目的

• 1次元ホロモルフィック写像の古典的線形化理論を、C^nにおける拡張型半群へと拡張すること。
• C^nにおける可換ホロモルフィック半群に対して、線形化可能同相写像の存在の必要十分条件を同定すること。
• 半群の剛性を調査する：共通の固定点における線形部が同一である半群が、いつ一致するのか？
• 共鳴条件（特に純粋実共鳴）が多変数シュレーディンガー方程式の可解性に与える影響を分析すること。
• 1つの線形または線形分数的半群要素がすべての要素が線形または線形分数的であることを示すための条件を確立すること。

提案手法

• 本稿では、半群の無限小生成子を用いて、初期値問題 dφ_t(z)/dt = f(φ_t(z)), φ_0(z) = z として時間発展を定義する。
• 線形化問題は、h(φ_t(z)) = e^{At}h(z) という関数方程式の解法として定式化され、ここで A = df_0 は固定点におけるヤコビアンである。
• この方程式の可解性は、一般化された微分方程式 dh_z f(z) = A h(z) に結びつけられ、形式的べき級数展開を用いて分析される。
• 共鳴条件は、固有値 α_j と多重指数 k の関係式 Re(α_j) = Re((α,k)) によって定義され、|k| ≥ 2 を満たす。
• 線形化写像における同次多項式項の再帰的構成が用いられ、形は dp_k^j/dt = (α,k)p_k^j - α_j p_k^j + a_k^j e^{(α,k)t} または類似の常微分方程式が解かれる。
• 重要な技術的アプローチとして、p_k^j(t_0) = 0 かつ共鳴条件が純粋実でない場合、p_k^j ≡ 0 であることを示し、非線形項が持続できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子のヤコビアンの固有値にどのようなスペクトル的条件が課されると、C^nにおけるホロモルフィック拡張型半群が線形化可能になるか？
• RQ2 ある半群要素 φ_t_0 が線形であるとすると、どのような条件下ですべての φ_t が線形になるか？
• RQ3 共鳴条件（特に純粋実共鳴）は、多変数シュレーディンガー方程式の可解性にどのように影響するか？
• RQ4 生成子が共通の固定点において同じ線形部を持つ場合、可換半群の剛性はどのように確立できるか？
• RQ5 線形分数的写像である半群要素 φ_t_0 がすべての要素が線形または線形分数的であることを保証するための条件は何か？

主な発見

• 生成子のヤコビアン A が純粋実共鳴を示さず、ある t_0 > 0 で φ_t_0 が線形であれば、すべての φ_t が線形写像である。
• すべての j および多重指数 k に対して e^{(α,k)t_0} ≠ e^{α_j t_0} が成り立つならば、φ_t_0 が線形であればすべての φ_t が線形である。
• 単位球 B^n において、φ_t_0 が線形分数写像であり、A が非共鳴または非退化条件を満たしていれば、すべての φ_t が線形分数写像である。
• 生成子の固有値が非共鳴または非退化条件を満たしていれば、半群は通常線形化可能である。
• 実解析的関数 F がベクトル場 f の積分曲線に沿ってホロモルフィックであり、かつ生成子が非共鳴または φ_t_0 が線形化可能であれば、F は定義域上でホロモルフィックである。
• 本稿では、線形化写像 h に非線形項が現れる場合、それが任意の t_0 > 0 で消えることは、純粋実共鳴である場合に限るが、非退化仮定のもとではそのような状況は矛盾を引き起こすと証明されている。