[論文レビュー] Normal forms in Poisson geometry

Ioan Mărcuț|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、幾何的・代数的・解析的手段を用いて、ポアソン幾何における4つの局所標準形定理を確立する。形式的同値性結果（定理3）と、ナッシュ＝モーザー法を用いたポアソン部分多様体の周囲における剛性定理（定理4）を証明し、コンパクトな単純な非可換リー代数のLie-ポアソン球の次元≥3における、初めてのポアソンモジュライ空間の計算（定理5）を導く。

ABSTRACT

This thesis studies normal forms for Poisson structures around symplectic leaves using several techniques: geometric, formal and analytic ones. One of the main results (Theorem 2) is a normal form theorem in Poisson geometry, which is the Poisson-geometric version of the Local Reeb Stability (from foliation theory) and of the Slice Theorem (from equivariant geometry). The result generalizes Conn's theorem from fixed points to arbitrary symplectic leaves. We present two proofs of this result: a geometric one relying heavily on the theory of Lie algebroids and Lie groupoids (similar to the new proof of Conn's theorem by Crainic and Fernandes), and an analytic one using the Nash-Moser fast convergence method (more in the spirit of Conn's original proof). The analytic approach gives much more, we prove a local rigidity result (Theorem 4) around compact Poisson submanifolds, which is the first of this kind in Poisson geometry. Theorem 4 has a surprising application to the study of smooth deformation of Poisson structures: in Theorem 5 we compute the Poisson-moduli space around the Lie-Poisson sphere (i.e. the invariant unit sphere inside the linear Poisson manifold corresponding to a compact semisimple Lie algebra). This is the first such computation of a Poisson moduli space in dimension greater or equal to 3 around a degenerate (i.e. non-symplectic) Poisson structure. Other results presented in the thesis are: a new proof to the existence of symplectic realizations (Theorem 0), a normal form theorem for symplectic foliations (Theorem 1), a formal normal form/rigidity result around Poisson submanifolds (Theorem 3), and a general construction of tame homotopy operators for Lie algebroid cohomology (the Tame Vanishing Lemma). We also revisit Conn's theorem and a theorem of Hamilton on rigidity of foliations.

研究の動機と目的

• シンプレクティック葉およびポアソン部分多様体の周囲におけるポアソン構造の局所標準形定理を確立すること。
• 余接パスと横断を用いた、シンプレクティック実現の存在に対する新しいアプローチを開発すること。
• 階数付きリー代数とたんがいのコホモロジーを用いて、部分多様体の周囲におけるポアソン構造の形式的同値性および剛性結果を証明すること。
• コンパクトな単純な非可換リー代数のLie-ポアソン球の滑らかな変形空間（モジュライ空間）を計算すること — これは次元≥3における初めての計算である。
• リーマン的安定性およびホロノミー群系列の技法をポアソンの葉に拡張し、ホロノミー群系列のハウスドルフ性の基準を証明すること。

提案手法

• シンプレクティック葉の周囲における標準形を証明するために、モーザーのパス法およびリー代数の可積分性を用いる幾何的手段を用いる。
• シンプレクティック実現と余接パスの幾何を関連付けるために、ヴァン・イスト写像およびリー群系列の微分コホモロジーを適用する。
• 形式的級数展開および形式的ベクトル場の代数を用いて、ポアソン部分多様体の周囲における形式的同値性（定理3）を証明する。
• たんがいのホモトピー作用素およびたんがいのコホモロジーを用いたナッシュ＝モーザー法により、解析的剛性（定理4）を証明し、ハミルトンのたんがい消失補題に依存する。
• 余接パス空間内の横断を用いてシンプレクティック実現を構成し、可積分性を「よい」実現の存在に還元する。
• ボット接続およびホロノミー表現を用いて、正規バンドルへの作用を定義し、1次コホモロジーにおけるたんがい消失補題の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でポアソン多様体がシンプレクティック実現を持つのか、そしてそのような実現は幾何的にどのように構成できるのか？
• RQ2 シンプレクティック葉の近傍におけるポアソン構造の局所標準形は何か、そしてそれは一次のデータにどのように依存するのか？
• RQ3 ポアソン部分多様体の近傍におけるポアソン構造は、微分同相下で形式的に分類可能か。その際、どのような障害が生じるか？
• RQ4 滑らかな変形の下で、ポアソン部分多様体の近傍におけるポアソン構造は剛性を持つのか。その剛性を示すためにどのような解析的手段が使えるか？
• RQ5 コンパクトな単純な非可換リー代数のLie-ポアソン球の、滑らかな変形のモジュライ空間の構造は何か？

主な発見

• 定理2は、任意のポアソン多様体におけるシンプレクティック葉の近傍における局所標準形を確立し、標準的な線形化結果を一般化する。
• 定理4は、ナッシュ＝モーザー法を用いてポアソン部分多様体の近傍におけるポアソン構造の解析的剛性を証明し、定理2の強化を示唆する。
• 定理5は、コンパクトな単純な非可換リー代数のLie-ポアソン球の滑らかな変形空間（モジュライ空間）を計算し、それが有限次元的であり、ポアソンコホモロジーを用いて明示的に記述可能であることを示す。
• 余接パスの多様体内の横断を用いた新しい構成により、シンプレクティック実現の存在が確立され、長年の未解決問題に対する幾何的解法が得られる。
• コンパクトでハウスドルフなシンプレクティック葉の分岐が、その葉空間がハウスドルフであることと同値に、ホロノミー群系列がハウスドルフ的かつ適切であることが示される。
• ボット複体のコホモロジーにたんがい消失補題を適用し、たんがいホモトピー作用素の構成を可能にするとともに、関連する設定における1次コホモロジーの消失を証明する。