[論文レビュー] Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf

Olivier Brahic|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヴォロビエフの幾何的データ形式論（Ehresmann接続、垂直バイベクトル場、曲率形式）を用いて、シンプレクティック葉の近傍におけるポアソン構造の標準形定理を確立する。弱いコhomological条件（第一ポアソンコホモロジーが自明）の下で、ポアソン構造は局所的に線形モデルと同値であり、半局所的線形化と水平・垂直ポアソン成分への分解が可能である。

ABSTRACT

We show how one can handle the formalism developped by Yurii Vorobjev in order to give general results about the problems of linearisation and of normal form of a Poisson structure in the neighborhood of one of its symplectic leaves.

研究の動機と目的

• シンプレクティック葉の近傍でポアソン構造を分析するための体系的枠組みを構築すること。
• 非退化な横断的構造を有するコンパクトなシンプレクティック葉の近傍におけるポアソン構造の線形化問題を扱うこと。
• 垂直部分が第一ポアソンコホモロジーが自明である場合に、ポアソン構造が局所的に線形モデルと同値であるような条件を確立すること。
• 水平部分と垂直ポアソン成分に分解できる分割定理を証明すること。

提案手法

• ヴォロビエフの幾何的データ形式論を用いる：Ehresmann接続 $\Gamma$、垂直バイベクトル場 $\mathcal{V}$、$C^\infty(E)$ に値をとる非退化2形式 $\mathcal{F}$。
• 任意の水平的非退化バイベクトル場 $\Pi$ を $\Pi = \Pi_H + \mathcal{V}$ の形に表現する。ここで $\Pi_H$ は水平的、$\mathcal{V}$ は垂直的である。
• 4つの方程式を用いてポアソン条件を課す：$[\mathcal{V},\mathcal{V}] = 0$、$\mathcal{L}_{\text{hor}(X)}\mathcal{V} = 0$、$\partial_\Gamma \mathcal{F} = 0$、および $\text{Curv}_\Gamma(u,v) = \mathcal{V}^\sharp(d\mathcal{F}(u,v))$。
• 最初に垂直部分 $\mathcal{V}$ を線形化し、次に接続を調整することで、微分同相写像を用いて構造を線形モデルに還元する。
• 第一ポアソンコホモロジー $H^1(\mathcal{V}_x^{(1)})$ の自明性を用いて、曲率を除去するグローバル1形式 $\phi$ の存在を保証する。
• $H^1(\mathcal{V}_x) = 0$ かつ $\mathcal{V}$ を保存する平坦な接続が存在する場合、分割定理を適用し、$\Pi = \Pi_H + \mathcal{V}$ と分解する。ここで $\Pi_H$ と $\mathcal{V}$ は両方ともポアソン構造である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、シンプレクティック葉の近傍におけるポアソン構造は局所的に線形モデルと同値となるか？
• RQ2 シンプレクティック葉の近傍で、ポアソン構造はどのように横断的および垂直的成分に分解できるか？
• RQ3 垂直線形化の第一ポアソンコホモロジーが標準形の存在に果たす役割は何か？
• RQ4 接続を曲率を除去するように変更できるか？ その場合の条件は何か？
• RQ5 いつ、ポアソン構造は正則な水平部分と垂直ポアソン成分に分割できるか？

主な発見

• 垂直バイベクトル $\mathcal{V}$ の点における微小な部分が線形化可能であり、$H^1(\mathcal{V}_x^{(1)}) = 0$ である限り、ポアソン構造は局所的に線形モデルと同値である。
• 半局所的線形化定理（定理2.3）は、ポアソン構造が線形化された幾何的データ $(\Gamma^{(1)}, \mathcal{V}^{(1)}, \mathcal{F})$ を持つ構造と同値であることを確立する。
• 垂直線形部分 $\mathcal{V}_x^{(1)}$ が非退化であり、$H^1(\mathcal{V}_x^{(1)}) = 0$ である場合、構造は半局所的に非退化であり、ある $\mathcal{F}'$ を用いた線形モデルと同値である。
• 横断的にコンパクトで半単純なポアソン構造に対しては、$\mathcal{V}_x^{(1)}$ がコンパクトな半単純リー代数から来る場合、同じ線形化結果が成り立つ。
• $H^1(\mathcal{V}_x) = 0$ かつ $\mathcal{V}$ を保存する平坦な接続が存在する場合、ポアソン構造は $\Pi = \Pi_H + \mathcal{V}$ と分解され、両方の成分がポアソン構造である。
• この分割は、曲率を接続から除去するがポアソン条件を保つ微分同相写像によって達成され、$\Gamma = \Gamma^{(1)} + \mathcal{V}^\sharp(d\phi)^h$ を満たすグローバル1形式 $\phi$ の存在に依存する。