[論文レビュー] Normal Subgroup Based Power Graph of a finite Group

A. K. Bhuniya, Sudip Bera|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限群 G の正規部分群 H を用いて定義される正規部分群に基づくべきグラフ Γₕ(G) を導入し、剰余類べき関係に基づく辺の定義を行う。Γₕ(G) のグラフ的性質と G/H の群的性質との間の重要な関係を確立し、Γₕ(G) が完全グラフであるための必要十分条件は G/H が自明または p^m の位数をもつこと、平面的であるための必要十分条件は |H| ∈ {2,3} かつ G/H が初等アーベルな2次元群であること、Euler的であるための必要十分条件は |G| ≡ |H| (mod 2) であること、を示している。

ABSTRACT

For a finite group $G$ with a normal subgroup $H$, the normal subgroup based power graph of $G$, denoted by $Γ_H(G)$ whose vertex set $V(Γ_H(G))=(G\setminus H)\bigcup \{e\}$ and two vertices $a$ and $b$ are edge connected if $aH=b^mH$ or $bH=a^nH$ for some $m, n \in \mathbb{N}$. In this paper we obtain some fundamental characterizations of the normal subgroup based power graph. We show some relation between the graph $Γ_H(G)$ and the power graph $Γ(\frac{G}{H})$. We show that $Γ_H(G)$ is complete if and only of $\frac{G}{H}$ is cyclic group of order $1$ or $p^m$, where $p$ is prime number and $m\in \mathbb{N}$. $Γ_H(G)$ is planar if and only if $|H|=2$ or $3$ and $\frac{G}{H}\cong \mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2 imes \cdots imes \mathbb{Z}_2$. Also $Γ_H(G)$ is Eulerian if and only if $|G|\equiv |H|$ mod$ 2$.

研究の動機と目的

• 正規部分群に基づく新しいグラフ構成を導入することで、べきグラフの概念を一般化すること。
• Γₕ(G) のグラフ的性質が剰余群 G/H の群的性質とどのように関連するかを調査すること。
• Γₕ(G) の基本的性質、特に完全性、平面性、Euler的性質、連結性を特徴づけること。
• Γₕ(G) のキーパラメータ、例えばクリーク数、彩色数、頂点連結性を計算すること。

提案手法

• 頂点集合が (G \ H) ∪ {e} である正規部分群に基づくべきグラフ Γₕ(G) を定義する。ここで e は単位元である。
• 隣接関係を剰余類べき関係によって定義する：a ~ b であるとは、ある m,n ∈ ℕ に対して aH = b^m H または bH = a^n H が成り立つことである。
• 剰余群 G/H を用いて Γₕ(G) の構造的性質を分析し、特に同型と剰余類のダイナミクスを通じて考察する。
• Γₕ(G) がケイリー・グラフであるための必要十分条件は G/H が巡回 p-群であることであることを証明する。
• 辺数、クリーク数 w(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1（ただし M = w(Γ(G/H))）、彩色数 χ(Γₕ(G)) = w(Γₕ(G)) の公式を導出する。
• 全剰余類を削除する頂点連結性の議論を用いて、κ(Γₕ(G)) = |H|(k−1)+1（ただし k = κ(Γ(G/H))）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規部分群に基づくべきグラフ Γₕ(G) が完全グラフであるのはどのような場合か？ これに必要な G/H の群論的条件は何か？
• RQ2 Γₕ(G) が平面的であるための条件は何か？ H や G/H の構造はこれにどのように影響するか？
• RQ3 Γₕ(G) がEuler的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 Γₕ(G) のクリーク数と彩色数は、G/H のべきグラフのそれらとどのように関係するか？
• RQ5 Γₕ(G) の頂点連結性は何か？ これは Γ(G/H) の連結性によってどのように定まるか？

主な発見

• Γₕ(G) が完全グラフであるための必要十分条件は、G/H が自明またはある素数 p と m ∈ ℕ に対して p^m の位数をもつことである。
• Γₕ(G) が平面的であるための必要十分条件は、|H| ∈ {2,3} かつ G/H ≅ ℤ₂ × ℤ₂ × ⋯ × ℤ₂ であることである。
• Γₕ(G) がEuler的であるための必要十分条件は、|G| ≡ |H| (mod 2) であることである。
• Γₕ(G) のクリーク数は w(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1 で与えられ、ここで M = w(Γ(G/H)) である。
• Γₕ(G) の彩色数はそのクリーク数に等しく、したがって χ(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1 であり、これにより Γₕ(G) が完全グラフであることが証明される。
• Γₕ(G) の頂点連結性は |H|(k−1)+1 で与えられ、ここで k = κ(Γ(G/H)) である。