[論文レビュー] Normal weighted composition operators on the Hardy space

Paul Bourdon, Sivaram K. Narayan|ArXiv.org|Oct 7, 2009

Holomorphic and Operator Theory被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$H^2(\mathbb{U})$ 上の正規およびユニタリ加重合成作用素を特徴づけ、単位円板の任意の自己同型が適切な重み関数を用いてユニタリ加重合成作用素を誘導することを示している。$\mathbb{U}$ 内の点を固定する誘導写像をもつ正規作用素については、重み $\psi$ と記号 $\varphi$ がともに線型分数的でなければならないことが示され、このような作用素のスペクトル的特徴づけも提示されている。

ABSTRACT

Let g be an analytic function on the open unit disc U such that g(U) is contained in U, and let h be an analytic function on U such that the weighted composition operator W_{h,g) defined by W_{h,g}f = h f(g) is bounded on the Hardy space H^2. We characterize those weighted composition operators on H^2 that are unitary, showing that in contrast to the unweighted case (h=1), every automorphism of U induces a unitary weighted composition operator. A conjugation argument, using these unitary operators, allows us to describe all normal weighted composition operators on H^2 for which the inducing map g fixes a point in U. This description shows both h and g must be linear fractional in order for W_{h,g} to be normal (assuming g fixes a point in U). In general, we show that if W_{h, g} is normal on H^2 and h is not the zero function, then g must be either univalent on U or constant. Descriptions of spectra are provided for the operator W_{h,g} when it is unitary or when it is normal and g fixes a point in U.

研究の動機と目的

• $H^2(\mathbb{U})$ 上のすべての加重合成作用素 $W_{\psi,\varphi}$ がユニタリである条件を特徴づけ、重みなしの場合にのみ回転がユニタリ作用素を誘導するのとは異なり、それ以上の一般化を達成すること。
• 誘導写像 $\varphi$ が開単位円板 $\mathbb{U}$ 内の点を固定するとき、$H^2(\mathbb{U})$ 上のすべての正規加重合成作用素を記述すること。
• $W_{\psi,\varphi}$ が正規で $\psi \not\equiv 0$ の場合、正規性に必要な $\psi$ と $\varphi$ の条件を特定し、$\varphi$ が単射または定数で、$\psi$ が零点を持たないことを示すこと。
• 指定された条件下で、ユニタリおよび正規加重合成作用素のスペクトル的特徴づけを提供すること。
• ユニタリ、自己随伴、または正規作用素を誘導する重み関数 $\psi$ の形式を統一し、このような $\psi$ と線型分数的 $\varphi$ が正規作用素を誘導する条件を特定すること。

提案手法

• 単位円板 $\mathbb{U}$ の自己同型によって誘導されるユニタリ合成作用素による共役を用い、$\varphi$ が $\mathbb{U}$ 内の点を固定する場合に帰着することで、正規性問題を簡略化する。
• $H^2(\mathbb{U})$ における再生核理論、特に核関数 $K_a(z) = \frac{1}{1 - \bar{a}z}$ を用いて、随伴作用素および正規性条件を分析する。
• $\varphi$ が線型分数的である場合に関連する Cowen の補助関数 $\sigma$ を活用し、$C_\varphi$ の随伴を表現し、$W_{\psi,\varphi}^*W_{\psi,\varphi} = W_{\psi,\varphi}W_{\psi,\varphi}^*$ を満たす条件を導出する。
• 命題12における式 (15) の作用素的恒等式を導出し、解析する。この恒等式は、$\sigma \circ \varphi$ と $\varphi \circ \sigma$ を含む二つの加重合成作用素を等しくするものであり、正規性を特定する。
• Denjoy-Wolff 定理を用いて、$\varphi$ が境界点を固定する場合に還元し、放物型および双曲型タイプを別々に検討する。
• $[1]$ における本質的正規性に関する結果を応用し、$\varphi'({\omega}) < 1$ である非自己同型の線型分数的写像は、$\psi$ が $\overline{\mathbb{U}}$ 上で滑らかであれば、正規作用素を誘導できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの加重合成作用素 $W_{\psi,\varphi}$ が $H^2(\mathbb{U})$ 上でユニタリであり、$\psi$ と $\varphi$ にどのような条件がユニタリ性を保証するか？
• RQ2 $\varphi$ が $\mathbb{U}$ 内の点を固定するとき、正規加重合成作用素 $W_{\psi,\varphi}$ がどのように生じるか、また $\psi$ と $\varphi$ がどのような形をとるか？
• RQ3 $H^2(\mathbb{U})$ 上のユニタリおよび正規加重合成作用素のスペクトル的性質はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 滑らかである $\psi$ を持つ非自己同型の線型分数的自己写像 $\varphi$ が、$\mathbb{U}$ 上で正規加重合成作用素 $W_{\psi,\varphi}$ を誘導できるか？
• RQ5 ユニタリ、自己随伴、および正規加重合成作用素を誘導する重み関数 $\psi$ が共通して持つ構造的形は何か？

主な発見

• 単位円板 $\mathbb{U}$ の任意の自己同型 $\varphi$ は、$\varphi$ に依存する特定の重み関数 $\psi$ を用いて、$H^2(\mathbb{U})$ 上でユニタリ加重合成作用素 $W_{\psi,\varphi}$ を誘導する。これは、重みなしの場合にのみ回転がユニタリ作用素を誘導するのとは対照的である。
• $W_{\psi,\varphi}$ が $H^2(\mathbb{U})$ 上で正規であり、$\varphi$ が $\mathbb{U}$ 内の点を固定する場合、$\psi$ と $\varphi$ はともに線型分数的変換でなければならない。
• $\varphi$ が $\mathbb{U}$ 内の点を固定する正規作用素 $W_{\psi,\varphi}$ の場合、重み $\psi$ は $\psi(z) = \rho K_{\sigma(0)}(z)$ の形をとらなければならない。ここで $\sigma$ は $\varphi$ に対する Cowen の補助関数である。
• $W_{\psi,\varphi}$ が正規であるための必要十分条件は、式 (15) が成り立つことである。この式は、$\sigma \circ \varphi$ と $\varphi \circ \sigma$ を含む二つの加重合成作用素を等しくする。
• 滑らかである $\psi$ を持つ非自己同型の線型分数的自己写像 $\varphi$ で、双曲型タイプで $\varphi'({\omega}) < 1$ を満たすものは、本質的に非正規であるため、正規作用素 $W_{\psi,\varphi}$ を誘導できない。
• ユニタリおよび正規加重合成作用素のスペクトルは明示的に特徴づけられている：ユニタリ作用素のスペクトルは単位円上にあり、$\mathbb{U}$ 内の点を固定する正規作用素のスペクトルは、関連する線型分数的変換の固有値によって決定される。