[論文レビュー] Normalisation by Traversals

C.-H. Luke Ong|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、抽象構文木の長形式バージョンを対象とする走査に基づいて、元の項を保存する非破壊的正規化手法を提示する。主な貢献は、高階再帰スキームの計算木における走査とその意味的モデル内のパスとの間の全単射を確立する走査-パス対応定理であり、これにより高階モデルチェックイングにおける決定可能性結果が得られる。

ABSTRACT

We present a novel method of computing the beta-normal eta-long form of a simply-typed lambda-term by constructing traversals over a variant abstract syntax tree of the term. In contrast to beta-reduction, which changes the term by substitution, this method of normalisation by traversals leaves the original term intact. We prove the correctness of the normalisation procedure by game semantics. As an application, we establish a path-traversal correspondence theorem which is the basis of a key decidability result in higher-order model checking.

研究の動機と目的

• 置換に基づくβ-簡約を避けることにより、単純型付きラムダ項の非破壊的正規化手順を構築すること。
• ラムダ項の長形式における走査とその意味的モデル内のパスとの間の形式的対応関係を確立すること。
• 走査構造とパス意味論を結びつけることで、高階モデルチェックイングにおける決定可能性結果の基礎を提供すること。
• 高階再帰スキームの計算木を、明示的な長形式と走査を備えた無限の束縛木として形式的に定式化すること。
• 計算木λ(G)における有限および無限の走査が、再帰スキームの意味的モデル内の有限および無限のパスに正確に対応することを証明すること。

提案手法

• すべての部分項を完全にη拡張し、暗黙の適用を明示的な@記号に置換することで、ラムダ項の長形式を構築する。
• ノードがラムダ抽象、適用記号(@)、または変数でラベル付けされ、束縛関係を示す正当化ポインタを有する束縛木構造（長形式）を定義する。
• 走査を、ラムダノードと非ラムダノードが交互に現れる正当化されたノード列として定義し、各非初期ノードが以前のノードへの正当化ポインタを指すものとする。
• ゲーム的意味論を用いて正しさを証明し、走査がラムダ項の意味的モデル内の有効なパスに対応することを示す。
• 高階再帰スキームGの計算木λ(G)を、β-簡約を伴わずに長形式ルールを展開することで構築し、無限の束縛木を得る。
• 走査分解補題を証明し、λ(G)上の走査とGの意味的モデル内のパスとの間の強い全単射関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換に基づくβ-簡約を破壊せずに、単純型付きラムダ項の正規化が達成可能か？ これにより元の項構造が保存されるか？
• RQ2 ラムダ項の長形式における走査とその意味的モデル内のパスとの間に、正確な対応関係が存在するか？
• RQ3 高階再帰スキームの計算木の走査構造を用いて、その意味的モデル内のパス集合を特徴づけられるか？
• RQ4 走査-パス対応が、高階モデルチェックイングにおける決定可能性結果を可能にするか？
• RQ5 無限の計算木は、有限の走査とその極限を用いてどのように解析可能か？

主な発見

• 走査に基づく正規化手法は、元の項を変更せずに単純型付きラムダ項のβ正規、η長形式を正しく計算する。
• ラムダ項の長形式上の走査とその意味的モデルとの間には強い全単射関係が確立され、正当化された列の構造が保持される。
• 走査-パス対応定理により、高階再帰スキームの意味的モデル内の有限および無限のパスの集合が、その計算木上の走査から射影される列の集合に正確に一致することが証明された。
• 計算木λ(G)上の有限走査は、意味的モデル内のP-ビューと同型であり、無限走査は無限パスに対応する。
• 走査分解補題により、すべての無限走査が、計算木のより大きな有限近似における有限走査の極限として生じることが保証される。
• この対応関係により、無限束縛木上の走査解析に帰着することで、高階モデルチェックイングにおける決定性結果が得られる。