[論文レビュー] Normality conditions of structures in coarse geometry and an alternative description of coarse proximities

Pawel Grzegrzolka, Jeremy Siegert|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、粗い近傍を用いた粗い近傍の代替的特徴付けを導入し、連結な粗い空間が粗い近傍を誘導するための必要十分条件が、粗い正則性であることを確立している。著者らは、粗い正則性、大規模正則性（Dydak-Weighill）、および漸近的正則性（Dranishnikov）の間の同値性を証明し、従来の距離空間に関する結果を一般化し、粗い近傍が自然に粗い正則構造から生じることを示している。

ABSTRACT

We introduce an alternative description of coarse proximities. We define a coarse normality condition for connected coarse spaces and show that this definition agrees with large scale normality defined in [3] and asymptotic normality defined in [7]. We utilize the alternative definition of coarse proximities to show that a connected coarse space naturally induces a coarse proximity if and only if the connected coarse space is coarsely normal. We conclude with showing that every connected asymptotic resemblance space induces a coarse proximity if and only if the connected asymptotic resemblance space is asymptotically normal.

研究の動機と目的

• エンタウレッジや被覆に依存しない、近傍に基づく粗い近傍の代替的定義を提供すること。
• 連結な粗い空間における粗い正則性を定義・分析し、既存の大規模正則性および漸近的正則性の概念と関連付けること。
• 粗い空間または漸近的類似性空間が自然に粗い近傍を誘導するための条件を確立すること。
• 距離空間において距離から粗い近傍が誘導されることを示す従来の結果を一般化し、一般の粗い構造および漸近的類似性構造へと拡張すること。

提案手法

• 漸近的類似性関係において、非有界な集合が近接するような集合の存在に基づいて、粗い近傍の新しい定義を導入する。
• 非有界集合 A と B について A ≺ B であるとき、A∖D と B∖D が漸近的に非離散であるような有界集合 D が存在するという性質を用いて、粗い正則性を定義する。
• 漸近的類似性関係 λ を用いて粗い近傍を特徴付け、近傍関係 ≺ に対する同値条件を導出する。
• 連結空間において、粗い正則性が Dydak と Weighill が定義した大規模正則性と同値であることを証明する。
• 粗い構造が粗い近傍を誘導するための必要十分条件として、空間が粗い連結かつ粗い正則であることであることを示す。
• 代替的定義を用いて、底面の空間が距離空間である場合に、誘導される近傍が距離から定義される粗い近傍と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、粗い空間が自然に粗い近傍を誘導するのか。
• RQ2 提案された粗い近傍の代替的定義は、エンタウレッジや被覆に基づく既存の定義とどのように関係するのか。
• RQ3 連結な粗い空間において、粗い正則性は大規模正則性および漸近的正則性と同値であるか。
• RQ4 距離から定義される粗い近傍の構成は、距離空間を超えて一般の粗い構造へと一般化可能か。
• RQ5 任意の漸近的類似性空間は常に粗い近傍を誘導するのか。もしそうならば、どのような正則性条件が必要か。

主な発見

• 連結な粗い空間が粗い近傍を誘導するための必要十分条件は、その空間が粗い正則であることであり、空間が距離空間である場合には誘導される近傍は距離から定義される粗い近傍と一致する。
• 粗い正則性は Dydak と Weighill が定義した大規模正則性と同値であり、粗い幾何学における異なる正則性概念の橋渡しを果たす。
• 粗い正則性は、Dranishnikov が定義した漸近的正則性とも同値であり、異なる枠組み間の概念を統合する。
• 粗い近傍を粗い近傍に基づいて定義する代替的定義は、従来のアプローチに比べてより直感的かつ幾何的に明確な特徴付けを提供する。
• 漸近的類似性空間が粗い近傍を誘導するための必要十分条件は、その空間が漸近的に正則かつ連結であることであり、距離空間のケースを一般化する。
• 誘導される粗い近傍の3通りの同値な特徴付けが提示された：エンタウレッジを用いたもの、非有界な漸近的に近接する部分集合を用いたもの、およびすべての有界集合に対してエンタウレッジとの一様な交わりを用いたもの。