[論文レビュー] Normalization for Implied Volatility

Masaaki Fukasawa|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティに対する新規の正規化フレームワークを導入し、ヨーロピアン・オプションのモデルフリー価格設定およびボラティリティ・スワップおよびギャンマ・スワップのフェア・ストライクの計算を可能にする。インプライド・ボラティリティとログ・マネーニessの間の主要な変換の単調性を証明することで、正規化された変数に関して明示的かつ微分を含まない公式を導出し、市場で観測されたボラティリティ・サーフェスからの直接的な、アービタージュフリーの価格設定を可能にする。

ABSTRACT

We study specific nonlinear transformations of the Black-Scholes implied volatility to show remarkable properties of the volatility surface. Model-free bounds on the implied volatility skew are given. Pricing formulas for the European options which are written in terms of the implied volatility are given. In particular, we prove elegant formulas for the fair strikes of the variance swap and the gamma swap.

研究の動機と目的

• インプライド・ボラティリティを用いて、ボラティリティ・スワップおよびギャンマ・スワップのフェア・ストライクに関する厳密かつモデルに依存しない公式を確立すること。
• 変換 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ の単調性を証明し、最小限のアービタージュ条件のもとで主要な価格設定公式の定義可能性を保証すること。
• 下記の資産リターン分布をモデルフリーに完全に特徴付ける正規化関数 $ g_1 $ および $ g_2 $ を導入すること。
• インプライド・ボラティリティ・サーフェスにのみ依存し、数値微分を避ける一般ヨーロピアン・オプションの価格設定公式を提供すること。

提案手法

• 最小限のアービタージュ条件の下で単調増加であることが証明された正規化変換 $ f_1(k) = -d_1(k, \sigma(k)) $ および $ f_2(k) = -d_2(k, \sigma(k)) $ を導入する。
• 逆関数 $ g_1 = f_1^{-1} $ および $ g_2 = f_2^{-1} $ を導出し、これらが新しい価格設定公式の中心的変数を構成する。
• 標準正規密度 $ \phi(z) $ に対する積分を用いてモデルフリーの価格設定公式を確立し、関数 $ \Psi(\log(S_T/F)) $ の期待値を $ g_1(z) $、$ g_2(z) $ およびその微分を用いて表現する。
• 変数変換および確率的計算の恒等式を用いて主要な公式を導出する：$ \mathbb{E}[-\log(S_T/F)] = \int \sigma(g_2(z))^2 \phi(z) \, dz $ および $ \mathbb{E}[\log(S_T/F) \cdot S_T/F] = \int \sigma(g_1(z))^2 \phi(z) \, dz $。
• 理論を応用してボラティリティ・スワップおよびギャンマ・スワップのフェア・ストライク公式を導出し、これらが一般価格設定公式の直接的結果であることを示す。
• 積分可能性および公式の有効性を保証するため、モーメント条件（例：$ \mathbb{E}[S_T^{-p}] < \infty $）および密度仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限のアービタージュ条件のもとで、写像 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ は厳密に単調増加か？
• RQ2 インプライド・ボラティリティ・サーフェスからの微分推定を一切行わずに、ボラティリティ・スワップのフェア・ストライクを直接的に表現できるか？
• RQ3 一般ヨーロピアン・オプションの価格設定公式を、インプライド・ボラティリティにのみ依存し、数値微分を避ける形で導出できるか？
• RQ4 正規化された変数 $ g_1 $、$ g_2 $ と $ \log(S_T/F) $ の分布との間の関数的関係は何か？
• RQ5 インプライド・ボラティリティ・サーフェスを用いて、ギャンマ・スワップのフェア・ストライクをモデルフリーに計算する方法は何か？

主な発見

• 最小限のアービタージュ条件 $ \mathbb{E}[S_T = F] < 1 $ の下で、変換 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ は厳密に単調増加であり、$ f_2 $ の逆写像可能性および $ g_2 $ の定義可能性を保証する。
• ボラティリティ・スワップのフェア・ストライクは $ \mathbb{E}[-\log(S_T/F)] = \int \sigma(g_2(z))^2 \phi(z) \, dz $ で与えられ、これはインプライド・ボラティリティ・サーフェスから直接計算可能なモデルフリーの公式である。
• ギャンマ・スワップのフェア・ストライクに対する新規な同等公式が導出された：$ \mathbb{E}[\log(S_T/F) \cdot S_T/F] = \int \sigma(g_1(z))^2 \phi(z) \, dz $、これはモデルに依存せず正確であることが示された。
• $ \log(S_T/F) $ の分布は関数 $ g_1 $ および $ g_2 $ によって完全に特徴付けられ、任意の滑らかな関数 $ \Psi $ の期待値は $ \Psi(g_2(z)) $、$ \Psi'(g_2(z)) $、および $ \Psi'(g_1(z))e^{-g_1(z)} $ を含む積分で与えられる。
• インプライド・ボラティリティ $ \sigma(k) $ の明示的微分を含まないため、離散的かつノイズの多い市場データに対しても安定であり、補間を用いた実装に適している。
• モデル仮定や数値微分を一切必要とせず、観測されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスおよびその正規化にのみ依存して、正確なオプション価格設定およびスワップのフェア・ストライク計算が可能である。