[論文レビュー] Normalization in integral models of Shimura varieties of Hodge type

Yujie Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Hodge型の志村多様体の整数値モデルが、Siegelモジュラー多様体の整数値モデルへの閉埋め込みを許容することを証明し、それによりその構成における正規化ステップが不要であることを示している。主な結果は、Hodge埋め込みが閉埋め込みであることを確立しており、モジュライ解釈を保ち、整数値モデルがすでに滑らかで正規であることを示唆している。

ABSTRACT

Let $(G,X)$ be a Shimura datum of Hodge type, and $\mathscr{S}_K(G,X)$ its integral model with hyperspecial (resp. parahoric, assuming the group is unramified) level structure. We prove that $\mathscr{S}_K(G,X)$ admits a closed embedding, which is compatible with moduli interpretations, into the integral model $\mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp},S^{\pm})$ for a Siegel modular variety. In particular, the normalization step in the construction of $\mathscr{S}_K(G,X)$ is redundant. In particular, our results apply to the earlier integral models constructed by Rapoport, Kottwitz etc. (resp. Rapoport-Zink etc.), as those models agree with the Hodge type integral models for appropriately chosen Shimura data. Moreover, combined with a result of Lan's on the boundary components of toroidal compactifications of integral models, our result also implies that there exist closed embeddings of toroidal compactifications of integral models of Hodge type into toroidal compactifications of Siegel integral models, for suitable choices of cone decompositions.

研究の動機と目的

• Hodge型志村多様体の整数値モデルを構成する際の正規化ステップが不要であることを示すこと。
• これらの整数値モデルがSiegelモジュラー多様体の整数値モデルへの閉埋め込みを有することを確立すること。
• Hodge埋め込みをSiegelモジュライ空間に用いることで、モジュライ解釈を保つこと。
• 適合する錐分割を用いて、結果をトロイダルコンパクト化へ拡張すること。
• mod $ p $ 点がクリスタリンテンソルによって一意に決定されることを示し、Hodge準同型の単射性を保証すること。

提案手法

• シムーラデータのシンプレクティック埋め込みを用いて、Hodge埋め込み $\mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm)$ を構成する。
• Kis17] および [Zho17] の基準を用い、閉包内での同じ像に写る2つの mod $ p $ 点が等しいことの必要十分条件として、それらのクリスタリンテンソルが一致することを示す。
• 特異点の上へのCM上昇を用いて、$ s_{\alpha,\ell,x} = s_{\alpha,\ell,x'} \Rightarrow s_{\alpha,\mathrm{cris},x} = s_{\alpha,\mathrm{cris},x'} $ を証明する。
• Hodgeサイクルの有理型性と同型写像の上昇を用い、コhomologicalテンソルの $ \ell $-進成分とクリスタリン成分を一致させる。
• Lan (2019) の厳密に適合する錐分割に関する結果を適用し、閉埋め込みをトロイダルコンパクト化へ拡張する。
• エタール近傍と局所解析を用い、境界成分への誘導写像が閉埋め込みであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hodge型志村多様体の整数値モデルの構成における正規化ステップは必要か？
• RQ2 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ の整数値モデルは、正規化を経ずに $ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 内の $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ の閉包として実現可能か？
• RQ3 Hodge準同型 $ \mathscr{S}_K(G,X) \to \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ は閉埋め込みを誘導するか？
• RQ4 Hodge型整数値モデルのトロイダルコンパクト化は、Siegel整数値モデルのトロイダルコンパクト化へ埋め込めるか？
• RQ5 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ の mod $ p $ 点は、そのクリスタリンテンソルによって一意に決定されるか？

主な発見

• 整数値モデル $ \mathscr{S}_K(G,X) $ の構成における正規化ステップは不要である：$ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 内の $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ の閉包は、すでに正規的かつ滑らかである。
• 閉埋め込み $ \mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ が存在し、モジュライ解釈と適合する。
• PELの場合、Hodge準同型は閉埋め込みである。これは、$ \mathcal{O}_B $-作用がレベル構造によって決定されるからである。
• 適切な錐分割に対して、トロイダルコンパクト化の閉埋め込み $ \coprod_j (E_{\mathcal{Z},j}(\sigma_j) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z},j}) \hookrightarrow E_{\mathcal{Z}'}(\tau) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z}'} $ が存在する。
• $ C_{\mathcal{Z},j} \to C_{\mathcal{Z}'} $ による境界成分への写像は、エタール近傍の像上での閉埋め込みである。
• Hodge準同型の mod $ p $ 水準での単射性は、クリスタリンテンソルの一致に起因し、これはCM上昇により $ \ell $-進テンソルの一致から従う。