[論文レビュー] Normalization of Scattering States, Scattering Phase Shifts and Levinson's Theorem

Nathan Poliatzky|ArXiv.org|Apr 4, 1993

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子力学における散乱状態の正規化の厳密な導出を提供し、正規化積分に位相シフトの微分に比例する追加項が含まれることを示している。標準的な積分では無視可能であるが、この項は完全な位相シフト情報を持つ。状態の完全性を用いて一般枠組みでレヴィンソンの定理を証明し、正エネルギーおよび負エネルギーにおけるディラック粒子に対する新しい結果を導出し、一般化量子電磁力学に応用することで、有限な束縛状態が全電荷ゼロを意味すること、および結合定数が固定された固有値でなければならないことを証明した。

ABSTRACT

We show that the normalization integral for the Schrödinger and Dirac scattering wave functions contains, besides the usual delta-function, a term proportional to the derivative of the phase shift. This term is of zero measure with respect to the integration over momentum variables and can be discarded in most cases. Yet it carries the full information on phase shifts and can be used for computation and manipulation of quantities which depend on phase shifts. In this paper we prove Levinson's theorem in a most general way which assumes only the completeness of states. In the case of a Dirac particle we obtain a new result valid for positive and negative energies separately. We also make a generalization of known results, for the phase shifts in the asymptotic limit of high energies, to the case of singular potentials. As an application we consider certain equations, which arise in a generalized interaction picture of quantum electrodynamics. Using the above mentioned results for the phase shifts we prove that any solution of these equations, which has a finite number of bound states, has a total charge zero. Furthermore, we show that in these equations the coupling constant is not a free parameter, but rather should be treated as an eigenvalue and hence must have a definite numerical value.

研究の動機と目的

• 位相シフトの微分寄与を含む一般化された散乱状態の正規化形式を確立すること。
• 特定のポテンシャル形を仮定せずに、状態の完全性のみを用いてレヴィンソンの定理を再導出すること。
• 高エネルギー極限における位相シフトの振る舞いを特異ポテンシャルにまで拡張すること。
• 量子電磁力学における一般化された相互作用図式を分析し、電荷および結合定数に関する制約を導出すること。

提案手法

• シュレーディンガーおよびディラック散乱状態の正規化積分を導出し、位相シフトの微分に比例する項を同定する。
• 状態の完全性を用いて、スカラーおよびスピノル粒子の両方に適用可能な一般設定でレヴィンソンの定理を証明する。
• 位相シフトの微分項を用いて漸近的高エネルギー極限を分析し、既知の結果を特異ポテンシャルにまで拡張する。
• QEDの一般化された相互作用図式から得られる方程式のクラスを分析し、位相シフト情報に基づいて解を制約する。
• 導出された正規化構造を用いて、これらの方程式における有限な束縛状態が全電荷ゼロを意味することを示す。
• これらの方程式における結合定数が自由パラメータではなく、固有値でなければならないことを示し、したがって数値的に固定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なデルタ関数項以外に、散乱状態の正規化は位相シフトにどのように依存するか？
• RQ2 特定のポテンシャル形を仮定せずに、一般化された方法でレヴィンソンの定理を証明できるか？
• RQ3 特異ポテンシャルに対して、高エネルギー極限における位相シフトの振るまいはいかなるものか？
• RQ4 導出された正規化および位相シフト関係が、一般化QED方程式の解に課す制約は何か？
• RQ5 これらの一般化QED方程式における結合定数は自由パラメータか、それとも固有値か？

主な発見

• 散乱状態の正規化積分には、位相シフトの微分に比例する追加項が含まれており、運動量積分では測度ゼロであるが、完全な位相シフト情報が保持されている。
• 状態の完全性のみを用いて一般形のレヴィンソンの定理を証明でき、シュレーディンガー方程式およびディラック方程式の両方に適用可能である。
• ディラック粒子に対して新たな結果が得られた：レヴィンソンの定理は正エネルギー状態および負エネルギー状態の両方で別々に成り立つ。
• 高エネルギーにおける位相シフトの漸近的振るまいが、特異ポテンシャルを含む形に一般化され、既知の結果が拡張された。
• 一般化QEDの枠組みにおいて、有限個の束縛状態を持つ任意の解は、全電荷がゼロである必要がある。
• これらの方程式における結合定数は自由パラメータではなく、固有値でなければならないため、明確な数値をとる。