[論文レビュー] Normalized causal and well-balanced multivariate fractional Brownian motion

Jean‐François Coeurjolly, Pierre‐Olivier Amblard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ウェーブレット変換を用いて多次元分数 Browm 運動（mfBm）を分析し、高次の消失モーメントを持つウェーブレット分解が長距離相関を除去することを示している。ヴァン・バール＝エッセン表現を用いて、相互スペクトル密度の存在を確立し、零周波数における挙動が漸近的相関結果と整合することを確認した。

ABSTRACT

The work developed in the paper concerns the multivariate fractional Brownian motion (mfBm) viewed through the lens of the wavelet transform. After recalling some basic properties on the mfBm, we calculate the correlation structure of its wavelet transform. We particularly study the asymptotic behavior of the correlation, showing that if the analyzing wavelet has a sufficient number of null first order moments, the decomposition eliminates any possible long-range (inter)dependence. The cross-spectral density is also considered in a second part. Its existence is proved and its evaluation is performed using a von Bahr-Essen like representation of the function $\sign(t) |t|^\alpha$. The behavior of the cross-spectral density of the wavelet field at the zero frequency is also developed and confirms the results provided by the asymptotic analysis of the correlation.

研究の動機と目的

• 多次元分数 Browm 運動（mfBm）のウェーブレット変換の相関構造を調査すること。
• 解析用ウェーブレットの高次の消失モーメントを満たす条件下でのウェーブレット相関の漸近的挙動を分析すること。
• ウェーブレット変換された mfBm フィールドの相互スペクトル密度の存在を確立し、その評価を行うこと。
• 相互スペクトル密度の零周波数における挙動を検討し、漸近的相関の減衰と関連付けること。

提案手法

• 多次元分数 Browm 運動（mfBm）をスケール局在化された成分に分解するためにウェーブレット変換を用いる。
• ウェーブレット相関に対する漸近的解析を適用し、十分な消失モーメントを持つウェーブレットが長距離依存性を除去することを示す。
• 関数 $\sign(t) |t|^\alpha$ のヴァン・バール＝エッセン型表現を用いて、相互スペクトル密度を導出し、評価する。
• 相互スペクトル密度の零周波数極限を分析し、漸近的相関の結果を検証する。
• mfBm の自己相似性と長距離依存性の性質がウェーブレット解析下でどのように変換されるかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェーブレット変換は、多次元分数 Browm 運動における長距離相関構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 解析用ウェーブレットにどのような条件下で、ウェーブレット変換が mfBm における長距離依存性を除去するか？
• RQ3 ウェーブレット変換された mfBm フィールドの相互スペクトル密度の解析的形と挙動は何か？
• RQ4 相互スペクトル密度の零周波数極限は、漸近的相関構造とどのように関連するか？

主な発見

• 十分な数の一次モーメントの消失を持つウェーブレット分解は、mfBm における長距離相関を効果的に除去する。
• ウェーブレット変換された mfBm フィールドの相互スペクトル密度は存在し、$\sign(t)|t|^\alpha$ のヴァン・バール＝エッセン表現を用いて評価可能である。
• ウェーブレット相関の漸近的挙動は、相互スペクトル密度の零周波数極限によって確認される。
• 相互スペクトル密度の零周波数挙動は、漸近的相関解析で観察された減衰特性と整合する。