[論文レビュー] Normalized classes of generalized Burgers equations

Oleksandr A. Pocheketa|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化バーガース方程式の正規化されたクラスの階層を導入し、その同値群の群が同値群によって生成されることを証明することで、群分類の簡略化を示している。ホフプ・コール変換を用いて、線形化可能な一般化バーガース方程式を線形発展方程式と関連づけ、線形クラスは半正規化であるが、重ね合わせに基づく許容可能な変換が存在しないため、非線形クラスは正規化されたままであることを示している。

ABSTRACT

A hierarchy of normalized classes of generalized Burgers equations is studied. The equivalence groupoids of these classes are computed. The equivalence groupoids of classes of linearizable generalized Burgers equations are related to those of the associated linear counterparts using the Hopf--Cole transformation.

研究の動機と目的

• 一般化バーガース方程式のクラスの正規化性質を調査し、群分類の簡略化を可能にする。
• ホフプ・コール変換を介して、線形化可能な一般化バーガース方程式の同値群の群とその線形対応物との関係を分析する。
• 親クラスが正規化でない場合でも、正規化されたクラスに属する部分クラスを同定する。
• 重ね合わせの原理が線形方程式では正規化を破るが、非線形対応物ではそれを維持する役割を明確にする。

提案手法

• 点変換 $ \tilde{t} = T(t), \tilde{x} = X(t,x), \tilde{u} = U^1(t,x)u + U^0(t,x) $ を用いて、一般化バーガース方程式のスーパークラスの許容変換の一般形を導出し、同値群の群を求める決定方程式を導出する。
• 線形発展方程式 $ v_t + a v_{xx} + b v_x + c v = 0 $ と一般化バーガース方程式 $ u_t + a u_{xx} + (a_x + b) u_x + \frac{1}{2} a_x u^2 + b_x u + f = 0 $ の間でホフプ・コール変換 $ u = 2v_x / v $ を適用し、同値群の群構造を保存する。
• 決定方程式に分類条件が存在しないことを利用して正規化を証明する：任意要素と変換パラメータの間に制約がなければ、クラスは正規化される。
• 拡散係数が変化する部分クラスを分析し、一つのクラスは正規化でないが、$ f_{xxx} $ に対する制約により二つの正規化された部分クラスに分解されることを示す。
• 代数的アプローチを用いて群分類を実行し、同値群の部分群解析に帰着することで、問題を簡略化する。
• 古典的バーガース方程式が正規化されたクラスを形成することを確認し、5つのベクトル場によって生成される完全な点変換群とモービウス型変換群の構造を明示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化バーガース方程式のクラスが正規化される条件は何か？ そして、その正規化が群分類をどのように簡略化するか？
• RQ2 ホフプ・コール変換により、線形および非線形一般化バーガース方程式の同値群の群はどのように関連するか？
• RQ3 線形発展方程式のクラスは半正規化であるが、その線形化可能な一般化バーガース方程式に対応するクラスはなぜ正規化されたままであるのか？
• RQ4 $ f_{xxx} = 0 $ を満たす一般化バーガース方程式の部分クラスの同値群の群の構造は何か？ 一般の場合とはどのように異なるか？
• RQ5 正規化でない一般化バーガース方程式のクラスは、正規化された部分クラスに分割可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？

主な発見

• 一般化バーガース方程式のスーパークラス $ u_t + F(t,x,u)u_{xx} + H^1(t,x,u)u_x + H^0(t,x,u) = 0 $ は、同値群の群が同値群によって完全に生成され、分類条件がないため正規化されている。
• 変数係数を持つ線形化可能な一般化バーガース方程式のクラスは、線形対応物が重ね合わせの原理により半正規化であるにもかかわらず、正規化されている。
• $ f_{xxx} = 0 $ を満たす部分クラスでは、同値群の群が $ T(t) $ と $ X^0(t) $ を含む常微分方程式系によって決定され、非自明な一般化拡張同値群を有する。
• 古典的バーガース方程式 $ u_t + u u_x + u_{xx} = 0 $ は、5つのベクトル場によって生成される完全な点変換群とモービウス型変換群を有する正規化されたクラスを形成する。
• $ \tilde{t} = c_1^2 t + c_0, \tilde{x} = \rho c_1 x + c_2 t + c_3, \tilde{u} = \frac{\rho c_1 u + c_2 t + c_3}{c_1^2}, \tilde{f} = \rho^2 f $ という変換は、 $ f_{xxx} = 0 $ を満たす部分クラスの同値群を生成し、正規化を確認する。
• 正規化性質は、$ u_t + u u_x + f(t) u_{xx} = 0 $ のような部分クラスにおいても保たれ、広いクラス（12）の同値群に関して正規化されているが、他のクラスとの交差を示す。