[論文レビュー] Normalized solutions for a system of coupled cubic Schrödinger equations on $\mathbb{R}^3$

Thomas Bartsch, Louis Jeanjean+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$ 上の結合三次シュレーディンガー方程式系に対して、$L^2$-ノルム制約の下で正規化された解の存在を、制約多様体上の変分的アプローチを用いて確立する。質量 $a_1, a_2 > 0$ が固定されているとき、すべての $\beta > 0$ に対して解の存在を示し、$k$-成分系へと結果を拡張する。また、バーリアル恒等式を用いた議論により、関連する定常波の軌道的不安定性を証明する。

ABSTRACT

We consider the system of coupled elliptic equations \[ \begin{cases} -Δu - λ_1 u = μ_1 u^3+ βu v^2 \\ -Δv- λ_2 v = μ_2 v^3 +βu^2 v \end{cases} ext{in $\mathbb{R}^3$}, \] and study the existence of positive solutions satisfying the additional condition \[ \int_{\mathbb{R}^3} u^2 = a_1^2 \quad ext{and} \quad \int_{\mathbb{R}^3} v^2 = a_2^2. \] Assuming that $a_1,a_2,μ_1,μ_2$ are positive fixed quantities, we prove existence results for different ranges of the coupling parameter $β>0$. The extension to systems with an arbitrary number of components is discussed, as well as the orbital stability of the corresponding standing waves for the related Schrödinger systems.

研究の動機と目的

• 各成分に対して固定された $L^2$-ノルム制約の下で、$\mathbb{R}^3$ 上の結合三次シュレーディンガー方程式系に対する正の解の存在を確立すること。
• 任意の質量をもつ焦点型の場合（$\mu_1, \mu_2 > 0$）における正規化解に関する結果の不足を補うこと。
• 解の存在結果を任意の数の成分をもつ系へと拡張し、対応する定常波の軌道的安定性を分析すること。
• シュレーディンガー流の下で近傍の解が有限時間 blow-up を起こすことを示すことにより、正規化解が軌道的に不安定であることを証明すること。

提案手法

• 固定された $a_1, a_2 > 0$ に対して、$L^2$-ノルムの等値集合 $T_{a_1} \times T_{a_2}$ 上の制約付き変分問題として問題を定式化する。
• エネルギー汎関数 $J(u,v) = \int_{\mathbb{R}^3} \left( \frac{1}{2}|\nabla u|^2 - \frac{\mu_1}{4}u^4 \right) + \int_{\mathbb{R}^3} \left( \frac{1}{2}|\nabla v|^2 - \frac{\mu_2}{4}v^4 \right) - \frac{\beta}{2}\int_{\mathbb{R}^3} u^2 v^2$ を、制約 $\|u\|_{L^2}^2 = a_1^2$, $\|v\|_{L^2}^2 = a_2^2$ の下で最小化する。
• ラグランジュ乗数を用いて、$\lambda_1, \lambda_2$ を未知数とする系 $-\Delta u - \lambda_1 u = \mu_1 u^3 + \beta u v^2$, $-\Delta v - \lambda_2 v = \mu_2 v^3 + \beta u^2 v$ を導出する。
• 集中・コンパクトネスの原理およびマウンテンパス型の議論を用いて、制約多様体上での $J$ の臨界点を求める。
• $k$-成分系へと方法を拡張する際には、汎関数 $J(\mathbf{u})$ と全勾配および結合項を含む制約集合 $V$ を定義する。
• バーリアル恒等式を用いて、初期データが正規化解の近傍にある場合に、スケーリングされたエネルギー汎関数の下に凸性に基づく背理法により、有限時間 blow-up が生じることを示し、軌道的不安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^2$-質量が固定され、$\mu_1, \mu_2 > 0$ であるとき、$\mathbb{R}^3$ 上の結合三次シュレーディンガー方程式系に対して正規化された解が存在するか？
• RQ2 解の存在結果は、2つ以上の成分をもつ系へと拡張可能であり、結合パラメータ $\beta_{ij}$ に必要な条件は何か？
• RQ3 関連する非線形シュレーディンガー系の時間発展の下で、正規化解は軌道的に安定か？
• RQ4 正規化解の存在および安定性を決定づける要因として、結合パラメータ $\beta > 0$ が果たす役割は何か？
• RQ5 制約集合上でのエネルギー汎関数の下界の欠如が、変分的アプローチに与える影響は何か？

主な発見

• 質量 $a_1, a_2 > 0$ が固定されているとき、$\mu_1, \mu_2$ に関する追加の仮定や質量が小さいことの要請なしに、すべての $\beta > 0$ に対して正規化された解の存在が証明される。
• $k$-成分系では、すべての $i \neq j$ に対して $\beta_{ij} \geq \bar{\beta}$ を満たす場合に解の存在が保証され、ここで $\bar{\beta}$ は $a_i, \mu_i$, および $k$ に依存する閾値である。
• 正規化解は軌道的に不安定であることが示されている：シュレーディンガー流の下で、近傍の初期データは有限時間 blow-up を起こす。バーリアル恒等式を用いてこれを示している。
• エネルギー汎関数 $J$ は制約集合 $V$ 上で下界に達し、その下界は厳密に負であるため、非自明な臨界点が存在することが示される。
• 不安定性の証明は、最大存在区間内すべての $t$ に対して $G(\Phi^s(t)) \leq -\delta < 0$ が成り立つことを示すことにより行われ、これによりバーリアル汎関数の下に凸性に基づく背理法が成立する。
• 結果は、$H^1(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}^k)$ 内の複素数値関数へと拡張可能であり、複素数制約集合上での $J$ の下界は、実数の場合の下界と等しい。