[論文レビュー] Normalized solutions of mass supercritical Schr\\"odinger equations with potential

Thomas Bartsch, Riccardo Molle+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用数 112

ひとこと要約

本稿は、無限大で減衰するポテンシャルを伴う質量超臨界非線形シュレーディンガー方程式に対する正規化解の存在を、L²-球面上での新規なミニマックス法を用いて確立する。V（特異性を含む）に対して明示的で摂動論的でない条件が満たされれば、任意のρ > 0に対して、‖u‖₂ = ρ を満たす(u, λ) ∈ H¹(R^N) × R⁺ が存在することを示す。これは、制約多様体上で汎関数が下に有界でない場合でも成立する。主な貢献は、超臨界領域における非コンパクト性とパライス・スメイル条件の欠如を克服する、新しいリンク型変分法の構築である。

ABSTRACT

This paper is concerned with the existence of normalized solutions of the nonlinear Schrodinger equation-Delta u + V(x)u + lambda u = vertical bar u vertical bar(p-2)u in R-Nin the mass supercritical and Sobolev subcritical case 2 + 4/N < p < 2*. We prove the existence of a solution (u, lambda) is an element of H-1 (R-N) x R+ with prescribed L-2-norm parallel to u parallel to(2) = rho under various conditions on the potential V : R-N -> R, positive and vanishing at infinity, including potentials with singularities. The proof is based on a new min-max argument.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式 −Δu + V(x)u + λu = |u|^{p−2}u に対して、固定されたL²ノルム ‖u‖₂ = ρ を満たす正規化解 (u, λ) ∈ H¹(R^N) × R⁺ の存在を確立すること。
• 質量超臨界領域（2 + 4/N < p < 2*）において、エネルギー汎関数がL²-球面Sρ上で下に有界でないという問題に直面する状況を扱うこと。この場合、標準的な最小化法は失敗する。
• Sρ 上のエネルギー汎関数の臨界点を見つけるために、リンク構造に基づく新規なミニマックス法を考案・適用すること。
• V ≥ 0 かつ |x| → ∞ のとき V(x) → 0 となるポテンシャルに対し、V および W(x) = V(x)|x| に対して明示的で摂動論的でない条件を課すことにより、解の存在を拡張すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 F(u) = ½∫(|∇u|² + V(x)u²)dx − 1/p ∫|u|ᵖdx の臨界点を見つけるために、L²-球面 Sρ = {u ∈ H¹(R^N) : ‖u‖₂ = ρ} 上に新規なミニマックス法を導入する。
• 自己同型問題 (−Δ + 1)U = |U|^{p−2}U のスケーリングされた基底状態 Zρ を用いて、比較プロファイルとしてのスケーリングされた基底状態の族を構築する。
• 変換 h ⋆ Zρ(x) = e^{h} Zρ(e^{h}x) を用いて、スケールのシフトと空間の平行移動を伴うリンク構造を定義する。
• V ≡ 0 の場合に、汎関数Fがマウンテンパスレベル mρ を達成することを証明し、これをV ≥ 0 で小さいか減衰する場合のリンク幾何の基準として用いる。
• Aubin-Talentiの鋭い定数AとVのL^N/2ノルムを用いて、事前推定を導出し、Sρ 上のパライス・スメイル系列の有界性を確立することで、解への収束を保証する。
• 径数的状況をモデルとして、H¹_rad(R^N) ∩ Sρ 上でのマウンテンパス法を適用し、V が径数的または径数的性質を持つ仮定を満たす場合に解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V ≥ 0 かつ |x| → ∞ のとき V(x) → 0 となるポテンシャルVに対して、質量超臨界領域 2 + 4/N < p < 2* において、任意のρ > 0 に対して H¹(R^N) × R⁺ 内に解が存在するための条件は何か？
• RQ2 エネルギー汎関数がL²-球面上で下に有界でない場合、最小化が不可能であるが、そのような状況でも正規化解を見つけるための変分法を構築できるか？
• RQ3 ポール（極）を含む特異性を持つVに対して、正規化解の存在理論にどのように組み込むことができるか？
• RQ4 V および W(x) = V(x)|x| に対して、明示的で摂動論的でない条件を課すと、L∞-ノルムがVとWで大きくても、ρが小さい場合に解が存在することが保証されるか？
• RQ5 本稿で開発された新しいリンク法は、埋め込み H¹(R^N) ↪ L^p(R^N) がコンパクトでない非径数的ポテンシャルに対しても適応可能か？

主な発見

• 本稿は、V ≥ 0 かつ |x| → ∞ のとき V(x) → 0 となる条件下で、明示的条件 (V1) もしくは (V2) を満たす場合、任意のρ > 0 に対して、質量超臨界シュレーディンガー方程式に対して (u, λ) ∈ H¹(R^N) × R⁺ の正規化解が存在することを証明する。
• 解は、超臨界領域におけるパライス・スメイル条件の欠如と汎関数の非有界性を克服する、L²-球面上での新規なミニマックス法によって得られる。
• 条件 (V1) を満たすポテンシャルに対しては、V および W(x) = V(x)|x| のL∞-ノルムが、mρ、ρ、p に依存する明示的表現で有界であれば、解の存在が保証される。この境界は、ρが小さい場合に大きなVを許容する。
• 次元N ≥ 3 において条件 (V2) を満たすポテンシャルに対しては、∥V∥_{N/2} および ∥W∥_N が、Aubin-Talenti定数Aとp、Nに依存する明示的関数で有界であれば、解の存在が保証される。この条件は特異性を許容する。
• 径数的状況では、Sρ ∩ H¹_rad(R^N) 上でのマウンテンパス法により解が得られ、この手法は径数的仮定下でも安定である。
• 本稿は、V ≡ 0 の場合のマウンテンパスレベル mρ がスケーリングされた基底状態 Zρ によって達成されることを示し、この値がリンク構成における基準として用いられている。