[論文レビュー] Normalizer of the Chevalley group of type $E_7$

A. Yu. Luzgarev, N. A. Vavilov|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の可換環 $ R $ 上で、基本的チヴォレーグループ $ E(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群、単純連結チヴォレーグループ $ G(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群、$ E(\text{E}_7, R) $ から $ G(\text{E}_7, R) $ へのトランスポートーラー、および拡張チヴォレーグループ $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ がすべて $ \mathrm{GL}(56, R) $ 内で一致することを証明する。拡張群は133個の二次形式の系の安定化部分群として特徴づけられ、結果は $ \mathbb{Z} $ 上でも成り立ち、対応する群スキームの滑らかさが確認される。

ABSTRACT

We consider the simply connected Chevalley group $G(E_7,R)$ of type $E_7$ in the 56-dimensional representation. The main objective of the paper is to prove that the following four groups coincide: the normalizer of the elementary Chevalley group $E(E_7,R)$, the normalizer of the Chevalley group $G(E_7,R)$ itself, the transporter of $E(E_7,R)$ into $G(\mathrm E_7,R)$, and the extended Chevalley group $\overline G(E_7,R)$. This holds over an arbitrary commutative ring $R$, with all normalizers and transporters being calculated in $GL(56,R)$. Moreover, we characterize $\overline G(E_7,R)$ as the stabilizer of a system of quadrics. This last result is classically known over algebraically closed fields, here we prove that the corresponding group scheme is smooth over $\mathbb Z$, which implies that it holds over arbitrary commutative rings. These results are one of the key steps in our subsequent paper, dedicated to the overgroups of exceptional groups in minimal representations.

研究の動機と目的

• 任意の可換環 $ R $ に対して、$ \mathrm{GL}(56, R) $ 内での基本的チヴォレーグループ $ E(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群を特定すること。
• この正規化部分群が、$ \mathrm{GL}(56, R) $ 内での単純連結チヴォレーグループ $ G(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群と一致することを示すこと。
• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 内で $ E(\text{E}_7, R) $ から $ G(\text{E}_7, R) $ へのトランスポートーラーが拡張チヴォレーグループ $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ に等しいことを証明すること。
• $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ を56次元最小表現における133個の二次形式の系の安定化部分群として明示的な幾何的記述を与えること。
• $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ の群スキームが $ \mathbb{Z} $ 上で滑らかであることを確立し、幾何的特徴づけが任意の可換環上に拡張できることを保証すること。

提案手法

• 133個の二次形式 $ f_1, \dots, f_{133} $ で生成される $ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $ のイデアル $ I \subset \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $ を構成し、二次形式の系の安定化部分群 $ G_I(R) $ を定義する。
• スキーム論的議論と $ \mathrm{E}_8 $ からの既知の構成を用いて、アフィン群スキーム $ G_I $ が $ \mathbb{Z} $ 上で拡張単純連結チヴォレーグループスキーム $ \overline{G}_{\text{sc}}(\text{E}_7, -) $ と同型であることを証明する。
• 既知の事実として、$ G_{\text{sc}}(\text{E}_7, R) $ が四線形形式 $ f $ とシミレクティック形式 $ h $ を不変に保つことを利用し、それらの第二偏微分を用いて133個の二次形式を生成する。
• 線形変換が $ f $ をスカラー倍で、$ h $ を平方スカラー倍で保つような変換の集合として $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $ を定義し、これが $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ と一致することを証明する。
• 拡張チヴォレーグループが交換子部分群と半単純元によって生成されることを用い、変換法則における補正項 $ c_2, c_3, c_4 $ が恒等的に消えることを示す。
• 文献[25]の主要結果を応用し、$ E(\text{E}_7, R) $ による四線形形式の不変性を示し、共役作用の下で形式を保つ任意の $ g $ が $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $ に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可換環 $ R $ に対して、$ \mathrm{GL}(56, R) $ 内で $ E(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群、$ G(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群、$ E(\text{E}_7, R) $ から $ G(\text{E}_7, R) $ へのトランスポートーラー、および拡張チヴォレーグループ $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ がすべて一致するか？
• RQ2 拡張チヴォレーグループ $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ は、56次元最小表現における二次形式の系の安定化部分群として明示的に記述可能か？
• RQ3 群スキーム $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ は $ \mathbb{Z} $ 上で滑らかか？ これにより、代数閉体上での幾何的定義が任意の可換環へ拡張可能か？
• RQ4 正規化する $ g \in \mathrm{GL}(56, R) $ の正確な変換法則は何か？ そして、四線形形式における補正項を除いた簡略化可能な形にできるか？
• RQ5 四線形形式 $ f $ とシミレクティック形式 $ h $ が $ E(\text{E}_7, R) $ で不変であることは、任意のこのような $ g $ が $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ に属することを強制するか？

主な発見

• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 内で $ E(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群は、$ G(\text{E}_7, R) $ の正規化部分群と一致し、両者とも $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ と一致する。これは任意の可換環 $ R $ に対して成り立つ。
• 拡張チヴォレーグループ $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ は、$ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $ 内の133個の二次形式で生成されるイデアルの安定化部分群と同型であり、群スキームの幾何的記述を確立する。
• $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ の群スキームは $ \mathbb{Z} $ 上で滑らかである。これにより、任意の可換環上でも二次形式の系の安定化部分群としての幾何的特徴づけが成立する。
• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 内で $ E(\text{E}_7, R) $ から $ G(\text{E}_7, R) $ へのトランスポートーラーは $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ に含まれ、等号が成り立つ。これにより正規化部分群の一致が裏付けられる。
• 任意の $ g \in \overline{G}(\text{E}_7, R) $ に対して、変換法則が $ f(gu,gv,gw,gz) = \varepsilon f(u,v,w,z) $ および $ h(gu,gv) = \varepsilon^2 h(u,v) $ を満たし、$ \varepsilon \in R^* $ である。補正項 $ c_2, c_3, c_4 $ は存在せず、これは補題10で示された。
• 四線形形式 $ f $ とシミレクティック形式 $ h $ は $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ でスカラー倍の不変性を保ち、この不変性によって定義される群 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $ は $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ と一致する。これは定理2で確立された。