[論文レビュー] Note on Counting Eulerian Circuits

Graham Brightwell, Peter Winkler|ArXiv.org|May 18, 2004

Markov Chains and Monte Carlo MethodsMathematics参考文献 13被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、多重量グラフにおけるオブリジ（有路の根付き有路を伴うエーラーダン向き）の数を数えるオракルを用いることで、エーラーダン向きの数を効率的に計算できることを示し、中国剰余定理と素数法における剰余を用いた計数により、エーラーダン回路の数え上げが#P完全であることを証明している。この証明は、エーラーダン向きの数え上げという#P困難問題を、エーラーダン回路の数え上げ問題に還元することで、エーラーダン回路の数え上げが#P完全であることを示している。

ABSTRACT

We show that the problem of counting the number of Eulerian circuits in an undirected graph is complete for the class #P.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおけるエーラーダン回路の数え上げが#P完全であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• エーラーダン回路の数え上げと、エーラーダン向きの数え上げという#P困難問題との間の関係を確立すること。
• オラクルによるオブリジ（根付き有路を伴うエーラーダン向き）の数え上げが、素数法における剰余でエーラーダン向きの数を効率的に計算可能であることを示すこと。
• 素数法における剰余と中国剰余定理を用いて、エーラーダン向きの正確な数を、剰余からの再構成によって得られることを示すこと。
• エーラーダン向きの還元技術が、not-all-equal 3-SATの数え上げ問題など、他の#P完全問題にも適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 与えられた無向グラフ $G$ から、各辺を $p$ 個の並行辺に置き換え、元のすべての頂点に2本の並行辺で接続された新しいルート頂点を追加することで、多重量グラフ $G_p$ を構築する。
• オブリジとは、新しい頂点を根とする有路を伴うエーラーダン向きのペアであり、これは $\prod (d_v - 1)!$ の因子を除いて一意なエーラーダン回路に対応する。
• タイプ $\tau$ によるオブリジの分類を行い、$\tau(e) = (k, X)$ は、$p$ 個の並行辺のうち、下位の頂点から上位の頂点へ向かう向きの辺の数 $k$ と、そのうち木の辺であるものが存在するか（$X = T$）を示す。
• 特別でないタイプ（$k \notin \{0,p\}$ または $X = T$）は、$p$ で割り切れる数の寄与を持つため、$p$ を法としての計数では寄与しない。したがって、$p$ を法としての計数に影響するのは、特別なタイプ（$k \in \{0,p\}$ かつ $X = F$）のみである。
• 特別タイプのオブリジの数が、正確に $2^n \times N$ に等しいことを証明し、ここで $N$ は元のグラフ $G$ のエーラーダン向きの数である。これにより、$N \mod p$ を回復可能である。
• 区間 $[m, 2m]$ 内のすべての素数 $p$ に対してこのプロセスを繰り返し、中国剰余定理を適用することで、$N$ の正確な値を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおけるエーラーダン回路の数え上げは#P完全か？
• RQ2 多重量グラフにおけるオブリジの数え上げオラクルを用いることで、グラフのエーラーダン向きの数を効率的に計算できるか？
• RQ3 素数法における剰余と中国剰余定理を用いた計数により、エーラーダン向きの正確な数を再構成できるか？
• RQ4 エーラーダン向きの還元技術は、not-all-equal 3-SATの数え上げ問題など、他の#P完全問題へも拡張可能か？
• RQ5 エーラーダン向きの数え上げに対して、完全多項式確率的近似スキーム（fpras）は存在するか？また、オブリジ上のマコフ連鎖は速やかに混合するか？

主な発見

• 無向グラフにおけるエーラーダン回路の数え上げは#P完全であることが証明され、25年以上にわたる未解決問題が解決された。
• 構築された多重量グラフ $G_p$ における特別タイプのオブリジの数は、正確に $2^n \times N$ に等しく、ここで $N$ は元のグラフ $G$ のエーラーダン向きの数である。
• 区間 $[m, 2m]$ 内の任意の素数 $p$ に対して、$G_p$ におけるオブリジの数は $2^n \times N \mod p$ に合同であるため、$N$ の剰余計算が可能である。
• 非特別タイプのオブリジの数は $p$ で割り切れるため、$p$ を法とした計数では寄与せず、結果として特別タイプの寄与のみが残る。
• 区間 $[m, 2m]$ 内のすべての素数 $p$ に対して同様の剰余計算を繰り返し、中国剰余定理を適用することで、$N$ の正確な値を再構成可能である。
• 同様の還元技術は not-all-equal 3-SAT の数え上げ問題に対しても適用可能であり、エーラーダン向きの数え上げへの還元により、これも#P完全であることが示された。