[論文レビュー] Note on edge-colored graphs and digraphs without properly colored cycles

Gregory Gutin|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最小単色次数 d ≥ 1 である任意の c-辺彩色無向グラフが適切に彩色されたサイクルを含むという予想を、任意に高い単色次数で適切に彩色されたサイクルを含まない再帰的 c-辺彩色グラフの構成によって反証している。主な貢献は、固定された c ≥ 2 に対して、関数 d(n,c) および d̲(n,c) のタイトな Θ(log n) 界を確立し、n に対して対数的に増加することを示したことである。

ABSTRACT

We study the following two functions: d(n,c) and $\vec{d}(n,c)$; d(n,c) ($\vec{d}(n,c)$) is the minimum number k such that every c-edge-colored undirected (directed) graph of order n and minimum monochromatic degree (out-degree) at least k has a properly colored cycle. Abouelaoualim et al. (2007) stated a conjecture which implies that d(n,c)=1. Using a recursive construction of c-edge-colored graphs with minimum monochromatic degree p and without properly colored cycles, we show that $d(n,c)\ge {1 \over c}(\log_cn -\log_c\log_cn)$ and, thus, the conjecture does not hold. In particular, this inequality significantly improves a lower bound on $\vec{d}(n,2)$ obtained by Gutin, Sudakov and Yeo in 1998.

研究の動機と目的

• Abouelaoualim ら（2007）が提唱した予想を反証すること：最小単色次数 d ≥ 1 である任意の c-辺彩色無向グラフは適切に彩色されたサイクルを含む。
• d(n,c) の正確な漸近的成長を特定すること。d(n,c) は、n 項の c-辺彩色無向グラフで最小単色次数 ≥ k を満たすすべてのグラフが適切に彩色されたサイクルを含むような最小の k である。
• 有向版 d̲(n,c) の分析。d̲(n,c) は、n 項の c-辺彩色有向グラフで最小単色出次数 ≥ k を満たすすべてのグラフが適切に彩色されたサイクルを含むような最小の k である。
• Gutin, Sudakov, および Yeo（1998）の結果に基づく、d̲(n,2) の既存の下界を上回る下界の改善。
• 固定された c ≥ 2 に対して、d(n,c) および d̲(n,c) の両方について、タイトな漸近的 Θ(log n) 界を確立すること。

提案手法

• 各頂点が色 i の辺で、その色に対して p_i − 1 のサブグラフ G に接続されるような再帰的 c-辺彩色グラフ G(p₁, p₂, ..., p_c) を構成。初期状態は単一の頂点である。
• s = p₁ + ... + p_c の和に関する帰納法を用いて、G(p₁, ..., p_c) が適切に彩色されたサイクルを含まず、最小単色次数が min{p_i} に等しいことを証明。
• 再帰的合計と帰納法を用いて、s > 0 のとき n(p₁, ..., p_c) ≤ s·2^s という上界を導出。
• p₁ = ... = p_c = p の対称的ケースに適用し、n_c(p) ≤ cp·c^{cp} を得て、n に対して p の下界を導出。
• δ_mon ≥ d かつ適切に彩色されたサイクルを含まないグラフの存在を示すことにより、d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n) を証明。
• 色を統合して 2-辺彩色有向グラフに還元することにより、d̲(n,c) の上界を log₂n の関数として導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小単色次数 d ≥ 1 である任意の c-辺彩色無向グラフは、必ず適切に彩色されたサイクルを含むのか？
• RQ2 n 項の c-辺彩色無向グラフで最小単色次数 ≥ k を満たすすべてのグラフが適切に彩色されたサイクルを含むような最小の k = d(n,c) は何か？
• RQ3 n 項の c-辺彩色有向グラフで最小単色出次数 ≥ k を満たすすべてのグラフが適切に彩色されたサイクルを含むような最小の k = d̲(n,c) は何か？
• RQ4 d̲(n,2) の下界は、既存の (1/4)log₂n + (1/8)log₂log₂n + Θ(1) の境界を超えて改善可能か？
• RQ5 固定された c ≥ 2 に対して、d(n,c) および d̲(n,c) は漸近的に Θ(log n) か？

主な発見

• Abouelaoualim ら（2007）の予想は誤りである。任意に高い最小単色次数で適切に彩色されたサイクルを含まない c-辺彩色グラフが存在する。
• 適切に彩色されたサイクルを含まず、最小単色次数が min{p_i} に等しい c-辺彩色グラフ G(p₁, ..., p_c) の再帰的構成が確立された。
• 下界 d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n) が証明され、d̲(n,2) の既存の下界を著しく改善した。
• d̲(n,2) ≥ (1/2)(log₂n − log₂log₂n) が導出され、Gutin, Sudakov, および Yeo（1998）の (1/4)log₂n 下界を上回る。
• 固定された c ≥ 2 に対して、d(n,c) = Θ(log n) および d̲(n,c) = Θ(log n) であることが示され、タイトな漸近的成長が確立された。
• c-辺彩色有向グラフを 2-辺彩色に還元することにより、d̲(n,c) ≤ (1/⌊c/2⌋)(log₂n − (1/3)log₂log₂n + Θ(1)) の上界が導出された。