[論文レビュー] Note on Khovanov link cohomology

Bojan Gornik|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、Leeの$sl(2)$ケイコホモロジー結果を一般の$sl(n)$の場合へ拡張し、スペクトル系列の$E_2$項がケイコホモロジー$sl(n)$リンクホモロジーに等しいフィルター付きチェーン複体$¯{C}(L)$を構成することで達成する。$¯{C}(L)$のホモロジーは、リンクの$l$個の成分に$n$個のラベルを割り当てる割り当てによってインデックスづけられる要素によって生成され、そのホモロジー次数はリンク数によって決定される。

ABSTRACT

We extend Lee's result on sl(2) Khovanov cohomology of a link L to the general sl(n) case: a filtered chain complex C(L) whose spectral sequence E_2 term equals Khovanov cohomology is exhibited. We also compute C(L)'s cohomology: it depends only on linking numbers of certain sublinks of L.

研究の動機と目的

• 2以上の$n$に対して、Leeの$sl(2)$ケイコホモロジーに関する結果を$sl(n)$の場合へ一般化すること。
• スペクトル系列の$E_2$項が$H_n(L)$、すなわち$sl(n)$リンクホモロジーに等しいフィルター付きチェーン複体$\u00af{C}(L)$を構成すること。
• $\u00af{C}(L)$のホモロジーを計算し、それが部分リンクのリンク数にのみ依存することを示すこと。
• $\u00af{H}(L)$に標準的な基底を構成し、リンク成分から$n$個のラベルの集合への写像によってインデックスづけられることを確立すること。

提案手法

• 各リンク分解$\Gamma$に対して、量子コホモロジー$\mathbb{CP}^n$に対応するポテンシャル$w(x) = x^{n+1} - (n+1)\beta^n x$を用いた因子化を用いて、2周期的複体$\u00af{M}(\Gamma)$を構成する。
• 分解複体間のフィルター付き写像$\u00af{\chi}_0, \u00af{\chi}_1$を定義し、ケイコホモロジーと同様の構造を持つが、$\beta^n$項を含む修正された境界写像を用いる。
• これらの分解複体と0次のフィルター付き境界写像を用いて、フィルター付きチェーン複体$\u00af{C}(L)$を構成する。
• 分解上に定義された適切な状態$\varphi$を導入し、マークに$\Sigma_n$の値を割り当てる。この状態に基づき、エッジ作用素と射影写像のテンソル積を用いて$\u00af{H}(\Gamma)$内に基底要素$\mathbf{a}_\varphi$を構成する。
• エッジ変数$X_e$の作用を用いて、$\mathbf{a}_\varphi$が$Q_\varphi$の$\varphi$-固有空間内に非ゼロの要素として特定され、線形独立性が保証されることを示す。
• ホモロジーに生き残るのは、1-分解におけるタイプ2の状態と0-分解におけるタイプ4の状態に限られ、これらはリンク成分のラベリング$\psi$に正確に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Leeによる$sl(2)$ケイコホモロジーの簡略化は、$n \geq 2$の$sl(n)$リンクホモロジーへ一般化可能か？
• RQ2 スペクトル系列が$sl(n)$ケイコホモロジーに収束するフィルター付きチェーン複体のホモロジーは何か？
• RQ3 この複体のホモロジーは、リンクの位相的不変量（例えばリンク数）とどのように関係するか？
• RQ4 この複体のホモロジーに標準的な基底は存在するか？また、そのインデックスづけはどのように行われるか？

主な発見

• フィルター付きチェーン複体$\u00af{C}(L)$は、$E_2$項が$sl(n)$ケイコホモロジー$H_n(L)$と同型となるスペクトル系列を持つ。
• $\u00af{C}(L)$のホモロジー$\u00af{H}(L)$は、リンク$L$の成分数$l$に対して$n^l$次元である。
• $\u00af{H}(L)$の各基底要素$\mathbf{a}_\psi$は、$L$の成分から$n$個のラベルの集合$\Sigma_n$への写像$\psi$に対応する。
• $\mathbf{a}_\psi$のホモロジー次数は、$\sum_{\varepsilon_1 \neq \varepsilon_2} lk(\psi^{-1}(\varepsilon_1), \psi^{-1}(\varepsilon_2))$、すなわち異なるラベルの逆像間の符号付きリンク数の和に等しい。
• 基底要素$\mathbf{a}_\psi$は、フィルター付き写像$\u00af{\chi}_0, \u00af{\chi}_1$と状態射影$a_\varphi$のテンソル積を用いて構成され、非ゼロかつ線形独立性が保証される。
• ホモロジーに生き残るのは、1-分解におけるタイプ2の状態と0-分解におけるタイプ4の状態に限られ、これらは正確に成分のラベリング$\psi$に対応する。