[論文レビュー] Note on Löwner's theorem on matrix monotone functions in several commuting variables of Agler, McCarthy and Young

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、C¹滑らかさの仮定を不要にするように、Löwnerの行列単調関数に関する古典的定理を複数の可換変数へと拡張する。撹乱法を用いて、開集合 E ⊂ ℝᵈ 上の局所的行列単調関数が必ず解析的であり、上半平面 ℂᵈ₊ へと正則拡張をもつことを証明する。これにより、Agler, McCarthy, and Young の結果が滑らかでない関数へと一般化される。

ABSTRACT

In this brief note, we show that the hypotheses of Löwner's theorem on matrix monotonicity in several commuting variables as proved by Agler, McCarthy and Young can be significantly relaxed. Specifically, we extend their theorem from continuously differentiable locally matrix monotone functions to arbitrary locally matrix monotone functions using mollification techniques.

研究の動機と目的

• 局所的行列単調関数におけるC¹滑らかさの要請を緩和することで、Agler, McCarthy, and Young の多変数Löwner定理を一般化すること。
• 局所的行列単調性が、可換な複数変数において解析性を示すことの必要十分条件であることを確立すること。
• 近似法を用いて、滑らかでない関数に対しても行列単調関数の正則拡張性質を拡張すること。
• 微分可能性の仮定なしに、上半平面 ℂᵈ₊ への解析接続が成立することを示すこと。

提案手法

• 滑らかで compact な台を持つ核 φₜ を用いて、局所的行列単調関数 f を撹乱し、fₜ = φₜ * f として滑らかな近似列 fₜ を得る。
• 非減少経路に沿った可換自己共役行列空間における単調性を保つことにより、十分に小さい t に対して各撹乱関数 fₜ が局所的行列単調であることを証明する。
• [4] の定理2.2 を用いて、fₜ の導関数の成長を制御し、t → 0 のとき正則族をなすことを保証する。
• 撹乱列 fₜ がコンパクト集合上で一様収束することを示し、正則族による性質を用いて極限関数 f が解析的であることを確立する。
• 測度の密度が存在する点における差分商 ρ_ε = (f(x+ε₁)−f(x))/ε の弱収束を用いて、fₜ の微分係数を制御する。
• 上半平面 ℂᵈ₊ の構造と C¹ 関数に対する既知の拡張結果を応用し、f の正則拡張を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Agler, McCarthy, and Young の多変数Löwner定理におけるC¹滑らかさの仮定を除去することは可能か？
• RQ2 可換な複数変数における局所的行列単調性は、微分可能性の仮定なしに解析性を示すか？
• RQ3 撹乱法を用いて、滑らかでない行列単調関数に対しても正則拡張の結果を拡張できるか？
• RQ4 滑らかな関数による近似において、f が ℂᵈ₊ へと正則拡張することの性質は保たれるか？

主な発見

• Agler, McCarthy, and Young の定理におけるC¹滑らかさの仮定は除去可能である：局所的行列単調性のみから解析性が導かれる。
• 開集合 E ⊂ ℝᵈ 上の局所的行列単調関数 f: E → ℝ は、撹乱法と正則族を用いて解析的であることが示された。
• 十分に小さい t に対して、撹乱関数 fₜ は局所的行列単調である。これは畳み込みによって単調性が保存されることを意味する。
• 撹乱列 fₜ が正則族をなし、一様有界な導関数を持つことから、極限関数 f は解析的である。
• コンパクト集合の内部における点で、差分商の弱収束を用いて fₜ の微分係数を制御し、方向微分係数の上極限が有限であることを保証した。
• 系として、関数 f: E → ℝ が局所的行列単調であるための必要十分条件は、f が解析的であり、値を閉上半平面にとる ℂᵈ₊ への正則拡張をもつことである。