[論文レビュー] Note on Min- k-Planar Drawings of Graphs

Petr Hliněný, Ködmön, Lili|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、k ≥ 2 のとき、min-k平面的グラフ—各交差する辺のペアについて、少なくとも一方の辺が高々k回の交差を持つ—が、単純図形と一般図形において本質的に異なる振る舞いを示すことを示している。著者らは、固定されたkが任意に大きくても、min-2平面的またはmin-3平面的図形を持つが、単純なmin-k平面的図形を許容しないグラフが存在することを証明している。隣接する辺同士の交差が禁止されている場合でも同様である。これは、一般図形と単純図形のmin-k平面的図形の間には重要な違いがあることを示しており、k ≥ 4 の場合にのみ問題となるk平面的グラフとは対照的である。

ABSTRACT

The k-planar graphs, which are (usually with small values of k such as 1,2,3) subject to recent intense research, admit a drawing in which edges are allowed to cross, but each one edge is allowed to carry at most k crossings. In recently introduced [Binucci et al., GD 2023] min-k-planar drawings of graphs, edges may possibly carry more than k crossings, but in any two crossing edges, at least one of the two must have at most k crossings. In both concepts, one may consider general drawings or a popular restricted concept of drawings called simple. In a simple drawing, every two edges are allowed to cross at most once, and any two edges which share a vertex are forbidden to cross. While, regarding the former concept, it is for k ≤ 3 known (but perhaps not widely known) that every general k-planar graph admits a simple k-planar drawing and this ceases to be true for any k ≤ 4, the difference between general and simple drawings in the latter concept is more striking. We prove that there exist graphs with a min-2-planar drawing, or with a min-3-planar drawing avoiding crossings of adjacent edges, which have no simple min-k-planar drawings for arbitrarily large fixed k.

研究の動機と目的

• min-k平面的グラフの文脈における一般図形と単純図形の違いを明確にすること。
• 単純min-k平面的図形に関する結果が、一般min-k平面的図形へと拡張可能かどうかを調査すること。
• k ≥ 2 のとき、min-k平面的図形における単純性の仮定が、一般性を失わずに行えるわけではないことを示すこと。
• min-2平面的およびmin-3平面的グラフが、任意に大きなkに対して単純なmin-k平面的図形を許容しないことを示す明示的な反例を構築すること。
• 将来の研究のため、min-k平面的図形を剛体フレーム内に制約する技術的ツール（アンカード図形とt-拡大）を開発すること。

提案手法

• d本のスポークを持つダブルホイールとしての基本グラフH0を構築し、その平面的双対H*0を形成し、H0とH*0を結合してH1を構成する。
• H0の中心頂点w2をa個に分割し、各頂点が2kℓ + 2k + 1個の連続するスポークに接続されるようにし、アンカーセットAを備えたH2を形成する。
• 双対部分グラフH''2にt-拡大を適用し、Ht2を生成する。ここでtは補題3.1に基づいて選ばれる。
• ジョルダン曲線定理を用いて、アンカーからw1へのパスを横切る任意の辺は、Ht2の少なくともk+1本の辺と交差することを示し、それにより重い辺であることを保証する。
• 補題3.2を適用して、任意のmin-k平面的図形において、Gの部分図形を変形することでアンカーが円盤の境界上にあり、Gの残りの部分が内部にあるようにできることを示す。
• ラマージュ型の議論（明確化のため簡略化）を用いて、必要な交差数を制限し、辺が多すぎる重い辺と交差する場合に矛盾が生じることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に大きなkに対して、すべてのmin-2平面的グラフが単純なmin-k平面的図形を許容するか？
• RQ2 k ≥ 2 のとき、単純min-k平面的図形に関する結果は、一般min-k平面的図形に対しても成り立つか？
• RQ3 隣接する辺の交差を避けるmin-3平面的図形を持つグラフであっても、kが大きくても単純なmin-k平面的図形を許容しないことがあるか？
• RQ4 k ≤ 3 のk平面的グラフにおいて一般性を失わずに行えるのと同様に、min-k平面的図形における単純性の仮定は、k ≥ 2 においても一般性を失わないのか？
• RQ5 非実現性に関する結果を証明するために、min-k平面的図形を剛体構造内に制約するための技術的ツールとして何が利用可能か？

主な発見

• 任意に大きな固定されたkに対して、単純なmin-k平面的図形を許容しないmin-2平面的図形を持つグラフが存在する。
• 同様に、隣接する辺の交差を避けるmin-3平面的図形を持つグラフであっても、任意に大きなkに対して単純なmin-k平面的図形を許容しないものが存在する。
• k ≥ 2 のとき、一般図形と単純図形のmin-k平面的図形の違いは重要であり、k ≥ 4 の場合にのみ問題となるk平面的グラフとは対照的である。
• k ≥ 2 のとき、隣接する辺の交差が禁止されていても、min-k平面的図形における単純性の仮定は一般性を失わないわけではない。
• 本論文では、双対部分グラフのt-拡大を伴うアンカード図形という技術的ツールを構築し、辺を重くすることで、非実現性に関する背理法的証明を可能にした。
• この結果は、k ≥ 2 における単純min-k平面的グラフに関する既存の結果が、一般min-k平面的グラフへと拡張可能でない可能性を示しており、その拡張の妥当性に懸念を呈する。