[論文レビュー] Note on mod p property of Hermitian modular forms

Toshiyuki Kikuta, Shōyū Nagaoka|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次ヘルミートモジュラー形式におけるθ作用素のmod p核を調査し、従来のシーゲルモジュラー形式への研究を拡張する。特定の素数pに対して、Eisenstein級数、ヘルミート・リーチ格子に付随するθ級数、およびヘルミートθ定数がΘ(F) ≡ 0 mod pを満たすことを示しており、Sturmの境界とθ作用素がモジュラー形式に作用する性質を用いている。

ABSTRACT

The mod $p$ kernel of the theta operator is the set of modular forms whose image of the theta operator is congruent to zero modulo a prime $p$. In the case of Siegel modular forms, the authors found interesting examples of such modular forms. For example, Igusa's odd weight cusp form is an element of mod 23 kernel of the theta operator. In this paper, we give some examples which represent elements in the mod $p$ kernel of the theta operator in the case of Hermitian modular forms of degree 2.

研究の動機と目的

• シーゲルから2次ヘルミートモジュラー形式へ、θ作用素のmod p核の概念を拡張すること。
• Θ(F) ≡ 0 mod p を満たすヘルミートモジュラー形式の明示的例を同定すること。
• Eisenstein級数、ユニモジュラー格子のθ級数、およびヘルミートθ定数が、θ作用素に関してmod pで成立する合同式を確立すること。
• Sturmの境界とθ作用素の既知の変換性質を応用し、mod p設定における合同式を検証すること。

提案手法

• θ作用素は、F = ∑ a(T)q^T のフーリエ展開に対して、Θ(F) = ∑ det(T)·a(T)q^T によりヘルミートモジュラー形式に定義される。
• 本論文は、重さkのモジュラー形式がθ作用素によって写された像が、mod pで重さk + p + 1の尖点形式に合同であるという既知の結果を用いる。
• 合同式の検証には、Sturmの境界（補題2.6）を適用し、有限個のフーリエ係数を確認することで行う。
• 虚二次体Kの類数が1である場合の、Eisenstein級数E_{k, K}^{(2)} を分析する。
• ガウス整数上のヘルミート・リーチ格子に付随するθ級数のフーリエ係数を計算し、mod 11での合同式を検証する。
• ヘルミートθ定数については、ψ_{4k} = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^{4k} を考察し、Θ(ψ_8) ≡ 0 mod 7 および Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11 を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの2次ヘルミートモジュラー形式が素数pに対してθ作用素のmod p核に属するか？
• RQ2 Kの類数が1のとき、重さp+1のヘルミートEisenstein級数E_{p+1, K}^{(2)} はΘ(E_{p+1, K}^{(2)}) ≡ 0 mod p を満たすか？
• RQ3 ガウス整数上のヘルミート・リーチ格子のθ級数は、θ作用素に関してmod 11で0に合同か？
• RQ4 ヘルミートθ定数ψ_8 および ψ_12 は、それぞれΘ(ψ_8) ≡ 0 mod 7 および Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11 を満たすか？
• RQ5 Sturmの境界は、ヘルミートモジュラー形式のmod p合同式を有効に検証できるか？

主な発見

• Kの類数が1である限り、ヘルミートEisenstein級数F_{p+1, K} はΘ(F_{p+1, K}) ≡ 0 mod p を満たす。
• ガウス整数上のヘルミート・リーチ格子のθ級数ϑ_{ℒ_ℂ}^{(2)} は、Θ(ϑ_{ℒ_ℂ}^{(2)}) ≡ 0 mod 11 を満たす。
• ヘルミートモジュラー形式ψ_8 = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^8 は、Θ(ψ_8) ≡ 0 mod 7 を満たす。
• ヘリミートモジュラー形式ψ_12 = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^{12} は、Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11 を満たす。
• ϑ_{ℒ_ℂ}^{(2)} のフーリエ係数はトレース6まで計算され、すべての非ゼロ係数がその素因数分解とともに列挙されている。