[論文レビュー] Note on packing of edge-disjoint spanning trees in sparse random graphs

Xiaolin Chen, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スパースなランダムグラフ $G(n,p)$ における辺素なスパニングツリーのパッケージング数について、鋭い上限を確立する。$p$ が $((\log n + \omega(1))/n, 1.1\log n/n)$ の範囲にあるとき、パッケージング数はほとんど確実に最小次数に等しくなることが証明され、PalmerとSpencerの結果を拡張し、最小次数が $n$ と共に増加することを許容する。逆に、$p \geq 51\log n/n$ のとき、パッケージング数は最小次数より厳密に小さくなることが示され、この等式の鋭い閾値が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

The \emph{spanning tree packing number} of a graph $G$ is the maximum number of edge-disjoint spanning trees contained in $G$. Let $k\geq 1$ be a fixed integer. Palmer and Spencer proved that in almost every random graph process, the hitting time for having $k$ edge-disjoint spanning trees equals the hitting time for having minimum degree $k$. In this paper, we prove that for any $p$ such that $(\log n+ω(1))/n\leq p\leq (1.1\log n)/n$, almost surely the random graph $G(n,p)$ satisfies that the spanning tree packing number is equal to the minimum degree. Note that this bound for $p$ will allow the minimum degree to be a function of $n$, and in this sense we improve the result of Palmer and Spencer. Moreover, we also obtain that for any $p$ such that $p\geq (51\log n)/n$, almost surely the random graph $G(n,p)$ satisfies that the spanning tree packing number is less than the minimum degree.

研究の動機と目的

• ランダムグラフ $G(n,p)$ において、スパニングツリーのパッケージング数 $\sigma(G)$ が最小次数 $\delta(G)$ に等しくなるようなエッジ確率 $p$ の閾値範囲を特定すること。
• PalmerとSpencerの結果を拡張すること。彼らの結果は固定された $k$-次数の閾値で等式を確立していたが、本研究では $\delta(G)$ が $n$ と共に増加することを許容する。
• パッケージング数 $\sigma(G) < \delta(G)$ がほとんど確実に成り立つ鋭い閾値を特定することにより、より密集したグラフでは等式が成立しないことを示すこと。

提案手法

• Nash-Williams–Tutteの定理を用いる。この定理は、$k$ 個の辺素なスパニングツリーが存在するための必要十分条件を、頂点集合の任意の分割 $\mathcal{P}$ に対して $|E_G(\mathcal{P})| \geq k(|\mathcal{P}|-1)$ が成り立つこととして特徴づける。
• Chernoffの不等式を用いて、ランダムグラフにおける頂点次数とエッジ数の集中を制御し、$\delta(G)$ と $\Delta(G)$ が期待値のまわりに鋭く集中することを保証する。
• 頂点分割における最大部分集合のサイズに基づく場合分けを行う。最大部分集合が $n/2$ 以上か、それ未満かで状況を区別する。
• 構造的補題を用いて、特に小さな集合と大きな集合に対して、部分グラフ内のクロスエッジの数を評価する。最小次数とエッジ密度の対数的増加を活用する。
• 和集合の不等式と漸近的確率的議論を用いて、すべての分割に対して必要な分割条件が高確率で成り立つことを示す。
• 次数の集中とエッジ数の上限を組み合わせることで、$p \geq 51\log n/n$ のとき $\sigma(G) < \delta(G)$ がほとんど確実に成り立つことを示し、$|E(G)|/(n-1) < \delta(G)$ が高確率で成り立つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの範囲の $p$ に対して、$G(n,p)$ におけるスパニングツリーのパッケージング数 $\sigma(G)$ が最小次数 $\delta(G)$ に等しくなるか？
• RQ2 等式 $\sigma(G) = \delta(G)$ の閾値を、固定された $k$ に制限されない形で、$\delta(G)$ が $n$ と共に増加する場合にまで拡張できるか？
• RQ3 パッケージング数 $\sigma(G) < \delta(G)$ がほとんど確実に成り立つような鋭い閾値が存在するか？ たとえ $\delta(G)$ が大きくても成り立つか？

主な発見

• $(\log n + \omega(1))/n \leq p \leq 1.1\log n/n$ を満たす $p$ に対して、$n \to \infty$ のとき、スパニングツリーのパッケージング数 $\sigma(G)$ はほとんど確実に最小次数 $\delta(G)$ に等しくなる。
• この範囲では $\delta(G)$ が $n$ と共に増加することを許容でき、PalmerとSpencerの結果（固定された $k$ 必要）を改善する。
• $p \geq 51\log n/n$ のとき、パッケージング数 $\sigma(G)$ はほとんど確実に最小次数 $\delta(G)$ よりも厳密に小さい。
• 証明では、$p \geq 51\log n/n$ のとき、$\sigma(G) \leq |E(G)|/(n-1) < \delta(G)$ が高確率で成り立つことが示され、エッジ数と次数の集中によるものである。
• $p = 51\log n/n$ における閾値は鋭い：$p$ がこれより大きいと、ツリーごとのエッジ数が最小次数に一致するのに不十分になる。
• 結果として、完全な漸近的図版が得られる：$p \leq 1.1\log n/n$ では $\sigma(G) = \delta(G)$ がほとんど確実に成り立ち、$p \geq 51\log n/n$ では $\sigma(G) < \delta(G)$ がほとんど確実に成り立つ。