[論文レビュー] Note on Pontryagin maximum principle with running state constraints and smooth dynamics -- Proof based on the Ekeland variational principle

Loïc Bourdin|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、滑らかな力学系と走行状態制約を伴う最適制御問題におけるポントレヤーギン最大原理の完全で詳細な証明を提供する。コアな分析的道具としてエケランドの変分原理を用い、標準的な滑らかさおよび正則性仮定の下で、随伴ベクトル（後向きカウチ＝スタイリーチス問題によって定義）およびハミルトニアンにおける最大条件を含む、必要な最適性条件の厳密な導出がなされる。

ABSTRACT

In this note our aim is to give a proof of the Pontryagin maximum principle for a general optimal control problem with running state constraints and smooth dynamics. Our proof is based on the classical Ekeland variational principle. The main result (and its proof) of this note are not new and are already well-known in the literature. The aim of the author is only to provide a complete and detailed proof of this classical theorem in the case of smooth dynamics. If you have any remarks or questions, do not hesitate to contact the author at [e-mail].

研究の動機と目的

• 走行状態制約と滑らかな力学系を伴う最適制御問題におけるポントレヤーギン最大原理の自己完結的で詳細な証明を提供すること。
• エケランドの変分原理を用いて、ハミルトニアンにおける最大条件および随伴方程式という、必要な最適性条件を確立すること。
• 活性な状態制約に関連する随伴ベクトルおよび測度値の乗数の役割を明確にすること。
• 最適制御における状態制約の文脈で、スティルチェス積分および有界 Variation 関数の使用を形式化すること。
• 研究者および学生が理解しやすい証明を提示すること。古典的結果ではあるが、明確さと完全性に重点を置く。

提案手法

• 証明は、適切な関数空間設定において最適制御問題にエケランドの変分原理を適用することに基づく。
• バナッハ空間上の有界関数の空間における固定点法を用いて、前向きおよび後向きカウチ＝スタイリーチス問題の解の存在および一意性が確立される。
• 随伴ベクトル $ p $ は、ハミルトニアンおよび状態制約の偏微分を含む後向き線形カウチ＝スタイリーチス問題の解として構成される。
• 解の制御に関する微分的依存性を活用して、スパイク変種を暗黙的に用いて一次の必要条件を導出する。
• スティルチェス積分のフビニ型公式および状態遷移行列を用いて線形系の解を表現する。
• 最終的な最適性条件は、エケランドの不等式と状態変数および随伴変数の双対性を組み合わせることで導出され、ハミルトニアンにおける最大条件が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 走行状態制約を伴う最適制御問題におけるポントレヤーギン最大原理を、変分原理を用いてどのように厳密に導出できるか。
• RQ2 状態制約が存在する状況で、エケランドの変分原理が必要な最適性条件を確立するために果たす正確な役割は何か。
• RQ3 力学系が滑らかで、状態制約が活性である場合、状態制約の文脈における随伴変数はどのように定義されるか。
• RQ4 状態制約が活性である場合の随伴方程式の構造は何か。また、スティルチェス積分を用いてどのように表現されるか。
• RQ5 ハミルトニアンにおける最大条件がほとんど everywhere で成り立つ条件は何か。また、これと制約に関連する双対変数の関係は何か。

主な発見

• 最適制御 $ u^* $ は、ほとんどすべての $ t \in [0,T] $ に対して $ u^*(t) \in \arg\min_{v \in \Omega} H(q^*(t), v, p(t), t) $ を満たす。ここで $ H $ はハミルトニアンである。
• 随伴ベクトル $ p \in \mathrm{BV}_n $ は、端末条件 $ p(T) = \psi \nabla \Psi(q^*(T)) $ を満たす後向きカウチ＝スタイリーチス問題 $ -dp = \partial_1 H \, dt + \sum_{i=1}^j \partial_1 G_i \, d\eta_i $ の一意解である。
• 乗数 $ \eta_i \in \mathrm{NBV}_1 $ は非減少であり、補完的スラックネス条件 $ \int_0^T G_i(q^*(\tau), \tau) \, d\eta_i(\tau) = 0 $ をすべての $ i = 1, \dots, j $ に対して満たす。
• 随伴方程式の解 $ p $ は明示的に、ドゥハメル型の公式 $ p(t) = Z(T,t)^\top p_T + \int_t^T Z(\tau,t)^\top \partial_1 H \, d\tau + \sum_{i=1}^j \int_t^T Z(\tau,t)^\top \partial_1 G_i \, d\eta_i(\tau) $ で与えられる。
• 線形カウチ＝スタイリーチス問題の解の存在および一意性は、有界関数の空間における収縮写像法によって確立される。
• 証明は、データの滑らかさ仮定の下で、エケランドの変分原理が状態制約が存在する場合でさえ、必要な条件を効果的に導出可能であることを示している。